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-1-第2章2.3.2第1课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线x25－y24＝1的()A．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±255x，离心率e＝355B．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±55x，离心率e＝95C．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±25x，离心率e＝65D．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y＝±52x，离心率e＝65答案：A2．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→·PF2→＝()A．－12B．－2C．0D．4解析：因为渐近线方程为y＝x，∴b＝2，∴双曲线方程为x2－y2＝2，所以点P的坐标为(3，±1)，又易知F1(－2,0)，F2(2,0)，不妨取P(3，1)．∴PF1→·PF2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0.答案：C3．双曲线的渐近线为y＝±34x，则双曲线的离心率是()A.54B．2C.54或53D.52或153解析：若双曲线焦点在x轴上，∴ba＝34，-2-∴e＝1＋b2a2＝1＋916＝2516＝54.若双曲线的焦点在y轴上，∴ab＝34，ba＝43.∴e＝1＋b2a2＝1＋169＝259＝53.答案：C4．已知双曲线x216－y2b2＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是()A.x216－y225＝1B.x216－y225＝－1C.x216－y29＝1D.x216－y29＝－1解析：由题意知a＝4.又∵|A1B1|＝5，∴c＝5，∴b＝c2－a2＝25－16＝3.∴双曲线方程为x216－y29＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________．解析：椭圆4x2＋y2＝64，即x216＋y264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝43，e＝23，所以a＝6，b＝c2－a2＝23，所以双曲线方程为y236－x212＝1.答案：y236－x212＝16．若双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．-3-解析：双曲线的渐近线方程为y＝±b2x∴b＝1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(3)过点M(2，－2)与x22－y2＝1有公共渐近线．解析：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)当焦点在x轴上时，由ba＝32且a＝3，∴b＝92.∴所求双曲线方程为x29－4y281＝1.当焦点在y轴上时，由ab＝32且a＝3，∴b＝2.所求双曲线方程为y29－x24＝1.综上，双曲线方程为x29－4y281＝1或y29－x24＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为x22－y2＝λ，将点(2，－2)代入得λ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.8．双曲线x2a2－y2b2＝1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线离心率e的取值范围．-4-解析：由题意知直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.则|b－ab|a2＋b2＋|－b－ab|a2＋b2≥45c，整理得5ab≥2c2.又∵c2＝a2＋b2，∴5ab≥2a2＋2b2.∴12≤ba≤2.e＝ca＝1＋ba2∴52≤e≤5.尖子生题库☆☆☆9．(10分)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F(22，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且OF→·FP→＝－6，求双曲线的方程．解析：方法一：设双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则过F且与其垂直的直线方程为y＝－ab(x－22)．由y＝bax，y＝－abx－22可得点P的坐标为a222，ab22.∴FP→＝a222－22，ab22，OF→·FP→＝(22，0)·a222－22，ab22＝－6.解得a2＝2，∴b2＝c2－a2＝(22)2－2＝6，∴双曲线方程为x22－y26＝1.方法二：设双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，∵点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为x，bax-5-∴FP→＝x－22，bax，OF→＝(22，0)．由OF→·FP→＝－6得22(x－22)＝－6，即x＝22.又由OP→·FP→＝0，得x(x－22)＋bax2＝0，代入x＝22，得ba2＝3.而a2＋b2＝(22)2＝8，∴a2＝2，b2＝6.∴双曲线方程为x22－y26＝1.