2012高中数学242第2课时课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-第2章2.4.2第2课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B2．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(ab0)的曲线大致为()解析：方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为x21a2＋y21b2＝1，y2＝－abx.因为ab0，所以1b1a0.所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.答案：D3．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.223C.23D.23解析：过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，-2-由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2|BF|＝|AF|，∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．从而yA＝2yB，联立方程组y＝kx＋，y2＝8x⇒消去x得y2－8ky＋16＝0，∴yA＋yB＝8k，yA·yB＝16⇒3yB＝8k，2y2B＝16，，消去yB得k＝223.故选B.答案：B4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716解析：∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.解析：由x－y－1＝0y＝ax2，得ax2－x＋1＝0，Δ＝1－4a＝0，得a＝14.答案：14-3-6．直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．解析：由y＝x＋by＝12x2，得x2－2x－2b＝0，Δ＝(－2)2＋8b0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，于是y1y2＝14(x1x2)2＝b2，由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．b＝2适合Δ0.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过抛物线y2＝2px的焦点且倾斜角为π4的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中垂线恰好过点Q(5,0)，求抛物线的方程．解析：弦AB中点为M，MQ为AB的中垂线，AB的斜率为1，则lMQ：y＝－x＋5.设lAB：y＝x－p2.联立方程组y＝x－p2，y2＝2px.得x2－3px＋p24＝0，∴x1＋x2＝3p.①-4-联立方程组y＝－x＋5y＝x－p2，得2x＝5＋p2，则x1＋x2＝5＋p2②联立①②，解得p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.8．已知抛物线C：y2＝2px(p0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1；(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由y2＝4xy＝－2x＋t得y2＋2y－2t＝0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－12.另一方面，由直线OA与直线l的距离等于55可得|t|5＝55，∴t＝±1，由于－1∉－12，＋∞，1∈－12，＋∞，所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知抛物线C1：y2＝4px(p0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝12；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，-5-若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．解析：(1)x24＋y23＝1；(2)①若直线l的斜率不存在，则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，∴|AB|＝4又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.∴直线l的斜率必存在．②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，由y2＝4xy＝kx－，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋160，且k≠0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1于是|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝＋k22＋4k22－4＝＋k216k2＋16k4＝＋k2k2，∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，∴由＋k2k2＝6，解得k＝±2.故所求直线l的方程y＝±2(x－1)．