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-1-第3章3.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B.答案：B2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量AB′→与BC′→的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠D′AB′＝60°，∴〈AB′→，BC′→〉＝60°.答案：C3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：如右图所示，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，∵CB→·CD→＝(a－b)·(c－b)＝a·c－b·c－a·b＋b2＝b20.同理BC→·BD→0，DB→·DC→0.故选B.答案：B4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为()A.13B.43C.33D.23-2-解析：∵AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，∴|AC1→|＝AB→＋AD→＋AA1→2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°.∴|AC→|＝1＋4＋9＋＋＝23.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋BC→·AD→＋CA→·BD→＝________.解析：设AB→＝b，AC→＝c，AD→＝d，则CD→＝d－c，BD→＝d－b，BC→＝c－b.原式＝0.答案：06．已知|a|＝32，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________.解析：m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32.答案：－32三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，-3-求下列向量的数量积：(1)AD→·DB→；(2)AD→·BC→；(3)GF→·AC→；(4)EF→·BC→.解析：(1)|AD→|＝a，|BD→|＝a，〈AD→，DB→〉＝120°，所以AD→·DB→＝|AD→||DB→|cos120°＝－12a2.(2)因为BC→＝AC→－AB→，所以AD→·BC→＝AD→·(AC→－AB→)＝AD→·AC→－AD→·AB→，又因为|AD→|＝a，|BC→|＝a，〈AD→，AC→〉＝〈AD→，AB→〉＝60°，所以AD→·BC→＝12a2－12a2＝0.(3)因为点F，G是AD，DC上的点，所以GF→＝23CA→＝－23AC→，所以GF→·AC→＝－23AC2→，因为AC2→＝a2，所以GF→·AC→＝－23a2.(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以EF→＝13BD→，所以EF→·BC→＝13BD→·BC→，结合图形可知〈BD→，BC→〉＝60°，所以EF→·BC→＝13BD→·BC→＝13×a×a×cos60°＝16a2.8．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝12|ND|，求|MN|.解析：∵MN→＝MB→＋BC→＋CN→-4-＝23AB→＋(AC→－AB→)＋13(AD→－AC→)＝－13AB→＋13AD→＋23AC→.∴MN→·MN→＝(－13AB→＋13AD→＋23AC→)·(－13AB→＋13AD→＋23AC→)＝19AB2→－29AD→·AB→－49AB→·AC→＋49AC→·AD→＋19AD→2＋49AC2→＝19a2－19a2－29a2＋29a2＋19a2＋49a2＝59a2.故|MN→|＝MN→·MN→＝53a.即|MN|＝53a.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.(1)用向量法求A1B和B1C的夹角；(2)用向量法证明A1B⊥AC1；(3)用向量法求AC1的长度．解析：(1)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，所以|A1B→|＝|B1C→|＝2a.因为A1B→＝AB→－AA1→，B1C→＝A1D→＝AD→－AA1→，所以A1B→·B1C→＝(AB→－AA1→)·(AD→－AA1→)＝a2，所以cos〈A1B→，B1C→〉＝a22a·2a＝12，即A1B和B1C的夹角为60°；(2)证明：因为AC1→＝AB→＋AA1→＋AD→，A1B→＝AB→－AA1→，所以AC1→·A1B→＝0，A1B⊥AC1；(3)由(2)知，AC1→＝AB→＋AA1→＋AD→，-5-所以AC1→2＝(AB→＋AA1→＋AD→)2＝3a2，所以|AC1→|＝AC1＝3a.