-1-第3章3.1.5一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若OC→=25AB→,则C的坐标是()A.-65,-45,-85B.65,-45,-85C.-65,-45,85D.65,45,85解析:AB→=(-3,-2,-4)25AB→=-65,-45,-85∴C-65,-45,-85.答案:A2.已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是()A.(1,1,1)B.(-2,-3,5)C.(2,-3,5)D.(-4,6,-2)解析:若b=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.答案:D3.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦为89,则λ=()A.2B.-2C.-2或255D.2或-255解析:因为a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,又因为a·b=|a||b|·cos〈a,b〉=5+λ2·9·89=835+λ2,所以835+λ2=6-λ,解得λ=-2或255.答案:C4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于()-2-A.310B.210C.10D.5解析:∵a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|a-b+2c|=310.答案:A二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角为________.解析:a+b=(cosα+sinα,2,sinα+cosα),a-b=(cosα-sinα,0,sinα-cosα),∴(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0,∴a+b与a-b的夹角为90°.答案:90°6.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R,若ka-b与b垂直,则k=________.解析:因为(ka-b)⊥b,所以(ka-b)·b=0,所以ka·b-|b|2=0,所以k(-1×1+0×2+1×3)-(12+22+32)2=0,解得k=7.答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足DB∥AC,DC∥AB的点D的坐标.解析:设点D(x,y,z),则DB→=(-x,1-y,-z),AC→=(-1,0,2),DC→=(-x,-y,2-z),AB→=(-1,1,0),∵DB∥AC,DC∥AB,∴DB→∥AC→,DC→∥AB→,有-x-1=-z2,1-y=0,-x-1=-y1,2-z=0,-3-解得x=-1,y=1,z=2所以D(-1,1,2).8.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)当|c|取最小值时,求t的值;(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.解析:(1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,所以Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0,即-4≤t≤-43.又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),所以|c|=-1+t2+12+-2t2=5t-752+65.因为t∈-4,-43时,上述关于t的函数单调递减,所以当t=-43时,|c|取最小值3473.(2)-4117351735尖子生题库☆☆☆9.(10分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解析:如右图所示,建立如图所示的空间直角坐标系,-4-则A(1,0,0)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E1,12,0、M(1,1,m).连结AC.则AC→=(-1,1,0).而E、F分别为AB、BC的中点,所以EF→=12AC→=-12,12,0.又因为B1E→=0,-12,-1,D1M→=(1,1,m-1),因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,且D1M⊥B1E,即D1M→·EF→=0,且D1M→·B1E→=0.所以-12+12+m-=00-12+1-m=0,解得m=12.