2012高中数学32第2课时课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-第3章3.2第2课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析：∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.答案：A2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1解析：|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－12x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.答案：A3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，-2-则C(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，E(1,1,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)CE→＝(1，－1,2)，AC→＝(－2,2,0)DB→＝(2,2,0)，A1D→＝(2,0,2)，AA1→＝(0,0,2).CE→·AC→＝－2－2＋0＝－4≠0，∴CE与AC不垂直，CE→·DB→＝1×2＋(－1)×2＋2×0＝0，∴CE⊥BD.故选B.答案：B4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.1，3，32C.1，－3，32D.－1，3，－32解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA→与平面的法向量n是否垂直，即PA→·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，PA→＝(1,0,1)，则PA→·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA→＝1，－4，12，则PA→·n＝1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B正确，同理可排除C，D.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA和AC的中点，则平面BEF与平面BDG的位置关系是________．解析：由AB＝BC，G是AC中点得BG⊥AC-3-由CD＝DA，G是AC中点得DG⊥AC∴AC⊥平面GBD又EF∥AC，∴EF⊥平面GBD∴平面BEF⊥平面BDG答案：垂直6.已知正四棱锥(如图)，在向量PA→－PB→＋PC→－PD→，PA→＋PC→，PB→＋PD→，PA→＋PB→＋PC→＋PD→中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是________．解析：PA→－PB→＋PC→－PD→＝BA→＋PC→－PD→＝PD→－PD→＝0，而PA→＋PC→＝2PO→，又PO→⊥面ABCD知可以，同样PB→＋PD→也可以，PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4PO→当然也可以．答案：PA→－PB→＋PC→－PD→三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．证明：CM⊥SN.证明：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12，N12，0，0，S1，12，0.(1)CM→＝1，－1，12，SN→＝－12，－12，0，因为CM→·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM⊥SN.8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC-4-⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则AC＝1，CD＝33，AD＝23＝233A(0,0,0)；B(1,0,0)；C12，32，0；D0，233，0P(0,0,1)；E14，34，12；CD→＝－12，36，0；PD→＝0，233，－1(1)∵CD→·AE→＝－12，36，014，34，12＝－18＋324＝0∴CD→⊥AE→(2)∵PD→·AB→＝0PD→·AE→＝0，233，－114，34，12＝0∴PD⊥AB，PD⊥AE又AB∩AE＝A∴PD⊥平面ABE.尖子生题库☆☆☆9．(10分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解析：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则E12，1，0，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)．设CP→＝λCC1→＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)，DE→＝12，1，0，DC1→＝(0,1,1)．设n＝(x，y，z)为平面C1DE的法向量，-5-则n·DE→＝0n·DC1→＝0，∴12x＋y＝0y＋z＝0.令x＝2，得y＝－1，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．A1B1→＝(0,1,0)，B1P→＝CP→－CB1→＝(0,0，λ)－(1,0,1)＝(－1,0，λ－1)．设m＝(x′，y′，z′)是平面A1B1P的法向量，则m·A1B1→＝0m·B1P＝0，∴y′＝0－x′＋λ－z′＝0.令z′＝1，则x′＝λ－1，∴m＝(λ－1,0,1)，要使平面A1B1P⊥平面C1DE，只须使n·m＝0，∴2(λ－1)＋1＝0.∴λ＝12.∴点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.