2012高中数学模块质量检测A课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-模块质量检测（A）(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若a＞－1，则a＞－2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．4解析：原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若a＞－2，则a＞－1”为假命题，故否命题为假命题．故4个命题中有2个真命题．故选C.答案：C2．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋10”的否定是()A．不存在x∈R,2x4－x2＋10B．存在x∈R,2x4－x2＋10C．存在x∈R,2x4－x2＋1≥0D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x∈R,2x4－x2＋1≥0.答案：C3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．4解析：由x2＋my2＝1，得x2＋y21m＝1，又∵椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，∴1m＝4，即m＝14.答案：A4．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么()A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件解析：∵甲⇒/乙，乙⇒甲∴甲是乙的必要不充分条件，故选B.答案：B-2-5．下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则q：∀x∈R，x2＋4x＋4≤0是全称命题．A．0B．1C．2D．3解析：只有命题①正确．答案：B6．设θ∈3π4，π，则关于x，y的方程x2sinθ－y2cosθ＝1所表示的曲线为()A．实轴在y轴上的双曲线B．实轴在x轴上的双曲线C．长轴在y轴上的椭圆D．长轴在x轴上的椭圆解析：∵θ∈3π4，π，∴cosθ0，且|cosθ|sinθ0，∴原方程可化为x2sinθ＋y2－cosθ＝1，即x2sinθ＋y2|cosθ|＝1，它表示长轴在y轴上的椭圆．答案：C7．已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是()A．(1，－4,2)B.14，－1，12C.－14，1，－12D．(0，－1,1)解析：PM→＝(0,2,4)，直线l的方向向量为a＝(2,1,1)，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则n·PM→＝0n·a＝0，经检验，A，B，C都是平面α的法向量．故选D.答案：D8．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y解析：采用排除法，选C.-3-答案：C9．正四面体ABCD中，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，给出向量的数量积如下：①AB→·CD→；②AC→·EF→；③EF→·FG→；④EG→·CD→.其中等于0的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①②③④均为0.答案：D10．过双曲线x29－y218＝1的焦点作弦MN，若|MN|＝48，则此弦的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：用弦长公式1＋k2|x1－x2|求解，显然直线MN的斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－33)，与双曲线方程联立，得(2－k2)x2＋63k2x－27k2－18＝0，所以|MN|＝1＋k263k22－k22＋427k2＋182－k2＝48，解得k2＝3.即k＝±3，故选D.答案：D11.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D中，M是AB的中点，则sin〈DB′，CM→〉的值为()A.12B.21015C.23D.1115解析：以D为原点，DA，DC，DD′为x，y，z轴建系，设正方体的棱长为1，则DB′→＝(1,1,1)，C(0,1,0)，M1，12，0，CM→＝1，－12，0，故cos〈DB′→，CM→〉＝1515，则sin〈DB′→，CM→〉＝21015.答案：B12．已知a＞0，b＞0，且双曲线C1：x2a2－y2b2＝1与椭圆C2：x2a2＋y2b2＝2有共同的焦点，则双曲线C1的离心率为()-4-A.2B．2C.233D.433解析：由已知a2＋b2＝c2，2a2－2b2＝c2，所以4a2＝3c2，所以e＝ca＝233，故选C.解析：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：綈p:x1或x12；綈q：xa＋1或xa，若綈p⇐綈q，綈p⇒/綈q，则a≤12，a＋1≥1，所以0≤a≤12.答案：0≤a≤1214．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC→1上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为________．解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.设M(x，y，z)∵点M在AC→1上且AM→＝12MC→1，∴(x－a，y，z)＝12(－x，a－y，a－z)-5-∴x＝23a，y＝a3，z＝a3得M2a3，a3，a3，∴|MN→|＝a－23a2＋a－a32＋a2－a32＝216a.答案：216a15.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点．若AE→＝12OD→＋xOB→＋yOA→，则x＝________，y＝________.解析：AE→＝OE→－OA→＝12OC→－OA→＝12(OB→＋BC→)－OA→＝12(OB→＋AD→)－OA→＝12(OB→＋OD→－OA→)－OA→＝－32OA→＋12OB→＋12OD→.∴x＝12，y＝－32.答案：12－3216．若方程x24－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1t4，且t≠52；②若C为双曲线，则t4或t1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1t32.其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)解析：若为椭圆4－t0，t－10，4－t≠t－1，即1t4，且t≠52，若为双曲线，则(4－t)(t－1)0，即4t或t1；-6-当t＝52时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，则1t52，故①②正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)．17．(本小题满分12分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解析：若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的负根，则Δ＝m2－4＞0，m＞0，解得m＞2，即p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因p或q为真，所以p，q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．∴m＞2，m≤1或m≥3或m≤2，1＜m＜3，解得m≥3或1＜m≤2.18．(本小题满分12分)已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点P32，6，求拋物线方程和双曲线方程．解析：依题意，设拋物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵点32，6在拋物线上，∴6＝2p·32，∴p＝2，∴所求拋物线方程为y2＝4x.∵双曲线左焦点在拋物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点32，6在双曲线上，∴322a2－62b2＝1a2＋b2＝1，解得a2＝14b2＝34，-7-∴所求双曲线方程为x214－y234＝1.19．(本小题满分12分)已知p：2x2－9x＋a0，q：x2－4x＋30，x2－6x＋80，且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．解析：由q：x2－4x＋30，x2－6x＋80，解得1x3，2x4，即2x3，∴q：2x3.设A＝{x|2x2－9x＋a0}，B＝{x|2x3}，∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A，∴2x3满足不等式2x2－9x＋a0，令f(x)＝2x2－9x＋a，要使2x3满足不等式2x2－9x＋a0，只需f，f，即8－18＋a≤0，18－27＋a≤0，∴a≤9，故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．20.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中点．(1)证明：面PAD⊥面PCD.(2)求AC与PB所成角的余弦值．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M0，1，12.-8-(1)证明：∵AP→＝(0,0,1)，DC→＝(0,1,0)，AP→·DC→＝0.∴AP⊥DC，∵AD⊥DC，∴DC⊥面PAD.又DC在平面PCD上，故面PAD⊥面PCD.(2)∵AC→＝(1,1,0)，PB→＝(0,2，－1)，故|AC→|＝2，|PB→|＝5，AC→·PB→＝2，∴cos〈AC→，PB→〉＝AC→·PB→|AC→||PB→|＝105.21．(本小题满分12分)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．解析：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，32，1，－32.此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.当|m|1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝＋k2x1＋x22－4x1x2]-9-＝＋k264k4m2＋4k22－k2m2－1＋4k2＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.22．(本小题满分14分)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．解析：如图，以D为坐标原点，线段DA