2013北京石景山区高三上学期期末考试数学理试题答案

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos0x，所以+,2xkkZ.所以函数)(xf的定义域为{+,}2xxkkZ｜……………2分sin2sincos()cosxxxfxx（）2sinsin+cos=2sin+sin2xxxxx２2sin(2-)14x……………5分T……………7分（Ⅱ）因为46x，所以7-2-1244x……………9分当2-44x时，即4x时，)(xf的最大值为2；……………11分当2--42x时，即8x时，)(xf的最小值为-2+1.………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在△ABC中，90,//,CDEBCADDE1ADDE.又11,,ADCDCDDEDADBCDE面.由1,.BCBCDEADBC面1,,BCCDCDBCCBCADC面.…………………………4分（Ⅱ）如图,以C为原点，建立空间直角坐标系．……………………5分1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)DEBA．题号91011121314答案2；6611222n；---3329①③A1CDExz设(,,)xyzn为平面1ABC的一个法向量，因为(0,3,0),CB1(2,0,4)CA所以30240yxz，令2x，得=0,=1yz.所以(2,0,1)n为平面1ABC的一个法向量．……………………7分设BE与平面1ABC所成角为．则44sin=cos555BEn．所以BE与平面1ABC所成角的正弦值为45．…………………9分（Ⅲ）设(,0,0)Dx,则1(,0,6)Axx，2221(-0)(0-3)(6--0)ABxx22-1245xx…………………12分当=3x时,1AB的最小值是33．即D为AC中点时,1AB的长度最小,最小值为33．…………………14分17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,AAA，依题意有12311(),(),(),23PAPAPAp且321,,AAA相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()PAA1221233.…………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有()PB123()PAAA＝121(1)233pp，…………………5分所以1134p，14p.……………………7分（Ⅲ）X的所有可能取值为3,2,1,0.……………………8分所以1(0)4PX，(1)PXP123()AAAP123()AAAP123()AAA111312111423423424，(2)PXP123()AAAP123()AAAP123()AAA11312111112342342344，(3)PX=P123()AAA＝111123424.……………………11分X分布列为：X0123P14112414124……………………12分所以，1111113()012342442412EX.………………13分一、（本小题共13分）（Ⅰ）1()=fxax…………………1分(1)=+1fa，=(1)=1lkfa，所以切线l的方程为(1)=(1)lyfkx，即=(1)yax．…………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln+10Fxfxaxxxx，，则11()=1=(1)()=0=1.FxxFxxxx，解得x)1,0(1),1(()Fx0)(xF↗最大值↘…………………6分(1)0F，所以0x且1x，()0Fx，()(1)fxax，即函数=()(1)yfxx的图像在直线l的下方．…………………8分（Ⅲ）令()=ln+1=0fxxax，ln+1=xax.令ln+1()=xgxx，22ln+11(ln+1)ln()=()==xxxgxxxx，则()gx在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，当=1x时，()gx的最大值为(1)=1g.所以若1a，则()fx无零点；若()fx有零点，则1a．………………10分若=1a，()=ln+1=0fxxax，由（Ⅰ）知()fx有且仅有一个零点=1x.若0a，()=ln+1fxxax单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()fx有且仅有一个零点（或：直线=1yax与曲线=lnyx有一个交点）.若01a，解1()==0fxax得1=xa，由函数的单调性得知()fx在1=xa处取最大值，11()=ln0faa，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时()0fx，即()fx在单调递减区间1(,+)a有且仅有一个零点；又因为1()=0afee，所以()fx在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当1a时，()fx无零点；当=1a或0a时，()fx有且仅有一个零点；当01a时，()fx有两个零点.…………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221xyab，因为32e，所以224ab，又因为(4,1)M，所以221611ab，解得225,20ba，故椭圆方程为221205xy．…………………4分（Ⅱ）将yxm代入221205xy并整理得22584200xmxm，22=(8)-20(4-20)0mm，解得55m．…………………7分（Ⅲ）设直线,MAMB的斜率分别为1k和2k，只要证明120kk．设11(,)Axy，22(,)Bxy，则212128420,55mmxxxx．…………………9分12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)yyyxyxkkxxxx122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055xmxxmxxxmxxmmmmm分子所以直线MAMB、的斜率互为相反数．…………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,nnnnanaaa对任意正整数都成立，即{}na是三角形数列。因为1k，显然有12()()()nnnfafafa，由12()()()nnnfafafa得12nnnkkk解得1-51522k.所以当15(1,)2k时，()xfxk是数列{}na的保三角形函数.…………………3分（Ⅱ）由1438052nnss，得1438052nnss，两式相减得1430nncc，所以1320134nnc…………………5分经检验，此通项公式满足1438052nnss.显然12nnnccc,因为1112332132013201344164nnnnnnccc（）+2013(）（）,所以{}nc是三角形数列.…………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(-1)lg44nngcn,所以{()}ngc单调递减.由题意知，3lg2013+(n-1)lg04①且12lglglgnnnccc②,由①得3-1lg-lg20134n（），解得27.4n,由②得3lg-lg20134n，解得26.4n.即数列{}nb最多有26项.…………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】