2013届人教A版文科数学课时试题及解析28解三角形的应用高中数学练习试题

1课时作业(二十八)[第28讲解三角形的应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．以观测者的位置作为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北方向线为始边，按顺时针方向旋转280°到目标方向线，则目标方向线的位置在观测者的()A．北偏东80°B．东偏北80°C．北偏西80°D．西偏北80°2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝120°3．如图K28－1，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，计算时应当用数据()图K28－1A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b4．如图K28－2，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()图K28－2A．akmB.3akmC.2akmD．2akm能力提升5．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为3km，则x＝()A.3B．23C.3或23D．36．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．201＋33mB．201＋32mC．20(1＋3)mD．201－33m7．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.1762海里/小时B．346海里/小时C.1722海里/小时D．342海里/小时28．飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地到甲地距离为()A．1400kmB．7002kmC．7003kmD．14002km9．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东75°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是________．图K28－311．如图K28－3，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则甲、乙两艘轮船之间的距离为________海里．12．在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈0，π2，则△OAB的面积达到最大值时，θ＝________.13．△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示)．14．(10分)如图K28－4，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．图K28－415．(13分)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2－c2＝3ab.(1)求角C的大小；(2)如果0A≤2π3，m＝2cos2A2－sinB－1，求实数m的取值范围．难点突破16．(12分)如图K28－5，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，试借助图中的辅助线，求证：山高h＝asinαsinγ－βsinγ－α.图K28－53课时作业(二十八)【基础热身】1．C[解析]注意旋转的方向是顺时针方向，作出相应的图形，分析可得正确选项为C.2．B[解析]如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB.而α，β同为AB与水平线所成的角，因此α＝β.3．C[解析]由A与B不可到达，故不易测量α，β.4．B[解析]利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－12＝3a2，∴AB＝3akm.【能力提升】5．C[解析]作出图形，由余弦定理有x2＋32－2×3×xcos30°＝3，得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23.6．A[解析]解相关的两个直角三角形，△ACD和△BCD(如图)，可得正确选项为A.7．A[解析]如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1762海里/小时．8．A[解析]如图所示，△ABC中，∠ABC＝75°－15°＝60°，∵AB＝BC＝1400，∴AC＝1400，即丙地到甲地距离为1400km，故应选A.9．C[解析]根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥12，所以角A的取值范围为0，π3，选C.10.23小时[解析]如图，设经过t小时渔船和舰艇同时到达B处，此即为舰艇到达渔船的最短时间．在△ABC中，C＝45°＋75°＝120°，CA＝10，CB＝9t，AB＝21t.由余弦定理(21t)2＝102＋(9t)2－2·10·9t·cos120°，即36t2－9t－10＝0，解得t＝23或－512(舍)．411.13[解析]连接AC，则AC＝5.在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.12.π2[解析]S△OAB＝1－12sinθ－12cosθ－12(1－cosθ)(1－sinθ)＝12－12sinθcosθ＝12－14sin2θ，当2θ＝π即θ＝π2时，面积最大．13．6sinB＋π6＋3[解析]在△ABC中，由正弦定理得：ACsinB＝332，化简得AC＝23sinB，ABsinπ－B＋π3＝332，化简得AB＝23sin2π3－B，所以三角形的周长为：3＋AC＋AB＝3＋23sinB＋23sin2π3－B＝3＋33sinB＋3cosB＝6sinB＋π6＋3.14．[解答](1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝12×22＋32×22＝6＋24.(2)∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°，由正弦定理得：ABsin∠ACB＝BCsin∠CAB，∴BC＝ABsin75°sin60°，如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝BDBC，∴BD＝BCsin45°＝ABsin75°sin60°·sin45°＝100×6＋2432×22，＝256＋233＝503＋33(米)．15．[解答](1)由a2＋b2－c2＝3ab，得a2＋b2－c22ab＝32.由余弦定理知cosC＝32，∴C＝π6.(2)∵m＝2cos2A2－sinB－1＝2·1＋cosA2－sin[π－(A＋C)]－15＝cosA－sin(A＋C)＝cosA－sinA＋π6＝cosA－sinAcosπ6－cosAsinπ6＝cosA－32sinA－12cosA＝12cosA－32sinA＝cosAcosπ3－sinAsinπ3＝cosA＋π3.∵0A≤2π3，∴π3A＋π3≤π.∴－1≤cosA＋π312，即m的取值范围是－1，12.【难点突破】16．[解答]证明：在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，根据正弦定理，APsin∠ABP＝ABsin∠APB，得APsin180°－γ＋β＝asinγ－α，∴AP＝a·sinγ－βsinγ－α，所以山高为h＝APsinα＝asinαsinγ－βsinγ－α.