2013届人教A版文科数学课时试题及解析37基本不等式B高中数学练习试题

1课时作业(三十七)B[第37讲基本不等式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．已知a，b∈R，下列不等式中不正确的是()A．a2＋b2≥2abB.a＋b2≥abC．a2＋4≥4aD.4b2＋b2≥42．已知f(x)＝x＋1x－2(x0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－43．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是()A．9B．25C．50D．1624．已知0x13，则x(1－3x)取最大值时x的值是________．能力提升5．若正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.1a＋1b有最大值4B．ab有最小值14C.a＋b有最大值2D．a2＋b2有最小值226．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.1127．若log2x＋log2y＝8，则3x＋2y的最小值为()A．4B．8C．46D．868．设f(x)＝|2－x2|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(0,2)B．(0,22)C．(0,4)D．(0，2)9．已知函数f(x)＝x＋px－1(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．10．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．11．设a＞0，b＞0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．12．(13分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值，指出取最小值时x的值．难点突破13．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．2图K37－1课时作业(三十七)B【基础热身】1．B[解析]对于基本不等式成立的前提条件是a、b必须都非负．2．C[解析]∵x0，∴－x0，∴x＋1x－2＝－－x＋1－x－2≤－2·－x·1－x－2＝－4，等号成立的条件是－x＝1－x，即x＝－1.3．C[解析]5x＋5y≥25x＋y＝254＝50，当且仅当x＝y＝2时，5x＋5y得最小值是50.4.16[解析]因为0x13，所以01－3x1，所以x(1－3x)＝13[3x(1－3x)]≤13·3x＋1－3x22＝112，当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，x(1－3x)取得最大值．【能力提升】5．C[解析]由基本不等式，得ab≤a2＋b22＝a＋b2－2ab2，所以ab≤14，故B错；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，故A错；由基本不等式得a＋b2≤a＋b2＝12，即a＋b≤2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故D错．6．B[解析]依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2x＋12y＋1＝6，∴x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.7．D[解析]由log2x＋log2y＝8，得log2xy＝8，所以xy＝16，且x0，y0，所以3x＋2y≥26xy＝86，当且仅当3x＝2y，xy＝16时，取得最小值86.故选D.8．B[解析]若0＜a＜b＜2，则有f(a)＞f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾；若2＜a＜b，则有f(a)＜f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾，故必有0＜a＜2＜b，因此由|2－a2|＝|2－b2|得2－a2＝b2－2，∴a2＋b2＝4，故a＋b2≤a2＋b22＝2(a＝b时取等号)，∴0＜a＋b＜22.9.94[解析]由题意得x－10，f(x)＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时取等号，则2p＋1＝4，解得p＝94.10．18[解析]由基本不等式得xy≥22xy＋6，令xy＝t得不等式t2－22t－6≥0，解得t≤－2(舍去)，或者t≥32，故xy的最小值为18.11．－4[解析]由1a＋1b＋ka＋b≥0，得k≥－a＋b2ab，而a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－a＋b2ab≤－4，因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.12．[解答](1)证明：a2x＋b2y(x＋y)＝a2＋b2＋a2yx＋b2xy≥a2＋b2＋2a2yx·b2xy＝(a＋b)2，故a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，当且仅当a2yx＝b2xy，即ax＝by时上式取等号．3(2)由(1)得f(x)＝222x＋321－2x≥2＋322x＋1－2x＝25，当且仅当22x＝31－2x，即x＝15时上式取最小值，即f(x)min＝25.【难点突破】13．[解答](1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°⇒y2＝x2＋AE2－x·AE.①又S△ADE＝12S△ABC⇒32＝12x·AE·sin60°⇒x·AE＝2.②将②代入①得y2＝x2＋2x2－2(y＞0)，∴y＝x2＋4x2－2(1≤x≤2)．(2)如果DE是水管y＝x2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x2＝4x2，即x＝2时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝2.如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋4x2，可知函数f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴ymax＝5－2＝3.即DE为AB边中线或AC边中线时，DE最长．