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1课时作业(四十二)[第42讲空间两直线][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线2．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如图K42－1所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点，则异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值是________．图K42－1图K42－24．如图K42－2，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．能力提升5．给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．46．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交27．正四面体P－ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()图K42－3A.32B.34C.36D.338．已知异面直线a，b互相垂直，定点P不在直线a，b上，若过P点的直线l与a成25°角，则l与b所成角θ的取值范围为()A．[0°，45°)B．[65°，90°]C．[45°，90°)D．(0°，25°]9．如图K42－4是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直，以上命题中，正确的序号是()图K42－4A．①②③B．②④C．③④D．②③④10．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)11．ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF与AC所成角的大小为________．12．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．13．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________________________________________________________________________(写出所有正确结论的编号)．14．(10分)如图K42－5所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．图K42－515．(13分)若四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD(如图K42－6)，且PA＝23.(1)求异面直线PD与BC所成角的大小；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．3图K42－6难点突破16．(12分)已知：如图K42－7，空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，F、G分别是边BC、CD上的点，且AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ(0λ、μ1)，试判断FE、GH与AC的位置关系．图K42－74课时作业(四十二)【基础热身】1．C[解析]c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．2．A[解析]直线EF和G(不相交，则EF与GH平行或异面，故E、F、G、H四点可能共面．3.2[解析]如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为2.4．③④[解析]由已知：①错．因为AM与CC1为异面直线；②错，因为若AM∥BN，则取DD1中点G，连接AG，由AG∥BN可得AM∥AG，这与AM和AG相交矛盾．③④正确．【能力提升】5．B[解析]没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；③④显然正确．6．D[解析]若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB∥CD；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.7．C[解析]如图，取PB中点N，连接CN、MN，则MN∥PA，故∠CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，设PA＝2，则CM＝3，MN＝1，CN＝3，∴cos∠CMN＝CM2＋MN2－CN22CM·MN＝36，故选C.8．B[解析]将异面直线a，b平移至相交于P点，当平移后的直线a，b与l这三条直线在同一平面内时，θ取得最小值65°，当b垂直于a，l所在的平面时，θ取得最大值90°.9．C[解析]首先将展开图还原(如图)，然后可利用排除法，容易观察出命题①②都是错误的，通过观察选择支，即可知选择C.10．②[解析]对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但A、B、C、D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.11.π3[解析]如图，将该图补成一个正方体，则AG∥DF，则∠CAG即为DF与AC所成的角，由AG＝AC＝CG知，∠CAG＝π3.512．24[解析]正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线必须是面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．13．①②④[解析]①②④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．14．[解答]如图，取BB1的中点M，连接A1M、MF.∵M、F分别是BB1、CC1的中点，∴MF綊B1C1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1綊B1C1，∴MF綊A1D1，∴四边形A1MFD1是平行四边形，∴A1M∥D1F.又E、M分别是AA1、BB1的中点，∴A1E綊BM，∴四边形A1EBM为平行四边形，∴EB∥A1M，故EB∥D1F.同理BF∥ED1，∴四边形EBFD1是平行四边形．又Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．15．[解答](1)∵AD∥BC，∴∠PDA的大小即为异面直线PD与BC所成角的大小．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，由PA＝23，AD＝2，得tan∠PDA＝3，∴∠PDA＝60°，故异面直线PD与BC所成角的大小为60°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴VP－ABCD＝13S正方形ABCD·PA＝13×22×23＝833.6【难点突破】16．[解答]∵AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ，∴EH∥BD，FG∥BD.∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD.①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.AHAD＝CGCD，∴HG∥AC.由公理4知，EF∥GH∥AC.②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.∴四边形EFGH是梯形，且EH、FG为上下两底边，∴EF、GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，∴三条直线EF、GH、AC交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF、GH、AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF、GH、AC交于一点．