2013届人教A版理科数学课时试题及解析31数列的综合应用高中数学练习试题

1课时作业(三十一)[第31讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－18，S13＝－52，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，那么b15的值为()A．64B．－64C．128D．－1283．设正项等比数列{an}，{lgan}成等差数列，公差d＝lg3，且{lgan}的前三项和为6lg3，则数列{an}的通项公式为()A．nlg3B．3nC．3nD．3n－14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为()A．2B．3C.12D.13能力提升5．成等比数列的三个数a＋8，a＋2，a－2分别为等差数列的第1、4、6项，则这个等差数列前n项和的最大值为()A．120B．90C．80D．606．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝32＋f(x)，x∈R，且f(1)＝52，则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为()A．305B．315C．325D．3357．已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a11，a43，S3≤9，设bn＝1nan，则使b1＋b2＋…＋bn99100成立的最大n值为()A．97B．98C．99D．100图K31－18．2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K31－1，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A1(0,1)，第二棵树在点B1(1,1)，第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是()A．(13,44)B．(12,44)C．(13,43)D．(14,43)9．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳B．⑨和⑩C．⑨和⑪D．⑩和⑪210．已知等差数列{an}，对于函数f(x)＝x5＋x3满足：f(a2－2)＝6，f(a2010－4)＝－6，Sn是其前n项和，则S2011＝________.11．已知an＝2n－1(n∈N＋)，把数列{an}的各项排成如图K31－2所示的三角数阵，记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是________．135791113151719……图K31－2图K31－312．如图K31－3所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为________．13．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2011的值等于________．14．(10分)某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元.2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年(n为正整数，2011年为第1年)的利润为1001＋13n万元．(1)设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为An万元，开发新项目的累计利润为Bn万元(须扣除开发所投入资金)，求An、Bn的表达式；(2)依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？15．(13分)已知直线l的方程为3x－2y－1＝0，数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线l上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)bn＝n2Sn＋1an，数列{bn}的前n项和为Tn，求f(n)＝bnTn＋24(n∈N＋)的最大值．3难点突破16．(12分)某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长，交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号(类似于抽签)的方法进行控制，制定如下方案：①每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到号的用户不再参加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请，预计2012年1月申请车牌的用户有10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌．计划2012年1月发放车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%.以2012年1月为第一个月，设前n(n∈N*)个月申请车牌用户的总数为an，前n个月发放车牌的总数为bn，使得anbn成立的最大正整数为n0.(参考数据：1.0516＝2.18,1.0517＝2.29,1.0518＝2.41)(1)求an、bn关于n的表达式，直接写出n0的值，说明n0的实际意义；(2)当n≤n0，n∈N*时，设第n个月中签率为yn，求证：中签率yn随着n的增加而增大．第n个月中签率＝第n个月发放车牌数第n个月参加摇号的用户数课时作业(三十一)【基础热身】1．A[解析]若lgx，lgy，lgz成等差数列，则2lgy＝lgx＋lgz，即lgy2＝lgxz，则y2＝xz，若y2＝xz，当x，z都取负数时，lgx，lgz无意义，故选A.2．B[解析]设等差数列{an}的公差为d，则S9＝9a1＋9×82d＝－18，S13＝13a1＋13×122d＝－52，解得a1＝2，d＝－1，∴b5＝a5＝a1＋4d＝－2，b7＝a7＝a1＋6d＝－4，设等比数列{bn}的公比为q，则q2＝b7b5＝2，b15＝b7q8＝－4×24＝－64，故选B.3．B[解析]依题意有3lga1＋3lg3＝6lg3，即a1＝3.设等比数列{an}的公比为q，则q＝a2a1，lgq＝lga2－lga1＝d＝lg3，解得q＝3，所以an＝3×3n－1＝3n，故选B.4．D[解析]设公比为q，又4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，解得{an}的公比q＝13.【能力提升】5．B[解析]由a＋8，a＋2，a－2成等比数列，得(a＋2)2＝(a＋8)(a－2)，解得a＝10，设等差数列为{an}，公差为d，则a1＝18，a4＝12，a6＝8，∴2d＝a6－a4＝－4，d＝－2，则这个等差数列前n项和为4Sn＝18n＋nn－12×(－2)＝－n2＋19n＝－n－1922＋1924，∴当n＝10或n＝9时，Sn有最大值90，故选B.6．D[解析]由已知f(x＋1)－f(x)＝32，则数列{f(n)}是等差数列，公差为32，其前20项和为20×52＋20×192×32＝335，故选D.7．B[解析]由a43，S3≤9，得a1＋3d3，且3a1＋3d≤9，∴3－a13d≤9－3a1,2a16，则a13，即1a13.∵首项a1及公差d都是整数，∴a1＝2,13d≤3，则d＝1，∴等差数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，则bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，b1＋b2＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，由1－1n＋199100，得n99，即n的最大值为98，故选B.8．A[解析]OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，前43个正方形共有43×3＋43×422×2＝1935棵树，2011－1935＝76,76－44＝32,45－32＝13，因此第2011棵树在(13,44)点处．9．D[解析]从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．6033[解析]f(x)为奇函数，所以由f(a2－2)＋f(a2010－4)＝0得f(a2－2)＝f(4－a2010)，所以a2－2＝4－a2010，即a2＋a2010＝6，所以S2011＝2011a1＋a20112＝2011a2＋a20102＝6033.11．101[解析]观察知每一行的第一个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a(m＋1,1)＝a(m,1)＋2m，所以a(10,1)＝a(9,1)＋18＝a(8,1)＋16＋18＝a(7,1)＋14＋34＝a(6,1)＋12＋48＝a(5,1)＋10＋60＝a(4,1)＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第一个数为91，所以第10行第6个数为101.12．8nn＋1π4[解析]从第一道弧开始，半径依次为1,2,3,4，…，并且从第二道弧开始，每一道弧的半径比前一道弧的半径大1，所以第8道弧的半径为8.弧长依次为π2×1，π2×2，π2×3，…，π2×n，所以弧长之和为π2×(1＋2＋3＋…＋n)＝nn＋1π4.13．4003[解析]设x8＝m，则x9＝m＋2，x10＝m＋4，x11＝m＋6，且x8＋x11＝x9＋x10，∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)＝0，且f(m)f(m＋2)f(m＋4)f(m＋6)，∴f(m)0，f(m＋6)0.若m与m＋6关于原点不对称，则m＋2与m＋4也关于原点不对称，∵f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾，∴m与m＋6关于原点对称，则m＋2与m＋4关于原点对称，则m＝－3，x8＝－3，x2011＝x8＋(2011－8)×2＝4003.14．[解答](1)依题意，An是首项为100－4＝96，公差为－4的等差数列的前n项和，所以An＝96n＋nn－12×(－4)＝98n－2n2；5数列1001＋13n的前n项和为100n＋1003×1－13n1－13＝100n＋501－13n，Bn＝100n＋501－13n－90＝100n－40－503n.(2)由(1)得，Bn－An＝100n－40－503n－(98n－2n2)＝2n＋2n2－40－503n，Bn－An是数集N*上的单调递增数列，观察并计算知B4－A4＝－50810，B5－A50，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．15．[解答](1)由题意知3an－2Sn－1＝0，①则3an＋1－2Sn＋1－1＝0，②②－①得an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列．由3a1－2S1－1＝0，得a1＝1，所以an＝3n－1.(2)由①知，2Sn＝3an－1，所以bn＝n2Sn＋1an＝3n，Tn＝na1＋an2＝3n2＋3n2.f(n)＝bnTn＋24＝3n3n2＋3n2＋24＝2nn2＋n＋16＝2n＋16n＋1≤29.当且仅当n＝16n，即n＝4时，等号成立．所以f(n)的最大值为f(4)＝29.【难点突破】16．[解答](1)an＝10a＋(n－1)a＝(n＋9)a，bn＝a1－1.05n1－1.05＝20a(1.05n－1)，由anbn得，n0＝17，说明第17个月以后，该项政策可以取消，不需要摇号就可以直接上牌．(2)证明：当n＝1时，y1＝110，当1n≤17，n∈N*时，yn＝bn－bn－1an－bn－1＝