2013届人教A版理科数学课时试题及解析41空间向量及运算高中数学练习试题

1课时作业(四十一)[第41讲空间向量及运算][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x等于()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.15C.35D.753．与向量a＝(6,7，－6)平行的单位向量是()A.6121，7121，－6121B.611，711，－611或－611，－711，611C.611，711，－611D.6121，7121，－6121或－6121，－7121，61214．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.55B.555C.355D.115能力提升5．如图K41－1，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝14A1B1，则BE→等于()图K41－1A.0，14，－1B.－14，0，1C.0，－14，1D.14，0，－16．已知a⊥b，〈a，c〉＝π3，〈b，c〉＝π6，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝()A．17＋63B．17－63C.17＋63D.17－6327．如图K41－2，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()图K41－2A.3B.2C．1D.3－28．到点A(－1，－1，－1)和点B(1,1,1)的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足()A．x＋y＋z＋1＝0B．x＋y＋z－1＝0C．x＋y＋z＝0D．x＋y－z＝09．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b10．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．11．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB→与CA→的夹角θ的大小是________．12．在平面直角坐标系中，由点A(a,0)，B(0，b)(ab≠0)确定的直线的方程为xa＋yb＝1，类比到空间直角坐标系中，由A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成________．13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．14．(10分)若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，试求cos〈a，b〉．15．(13分)把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小．难点突破16．(12分)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取最小值时，求点Q的坐标．3课时作业(四十一)【基础热身】1．B[解析]由于b＝12x－2a，则x＝2b＋4a＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4)＝(0,6，－20)．2．D[解析]由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，而两向量互相垂直，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝75.3．B[解析]设与a平行的单位向量为b＝(x，y，z)，则x2＋y2＋z2＝1，且x＝6λ，y＝7λ，z＝－6λ，所以λ＝±111，则b＝611，711，－611或－611，－711，611.4．C[解析]由于b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)，则|b－a|＝1＋t2＋2t－12＝5t2－2t＋2＝5t－152＋95≥355.【能力提升】5．C[解析]B点坐标为(1,1,0)，E点坐标为1，34，1，则BE→＝1－1，34－1，1－0＝0，－14，1.6．C[解析]由|a＋b＋c|＝a＋b＋c2求得正确选项为C.7．D[解析]∵BD→＝BF→＋FE→＋ED→，∴|BD→|2＝|BF→|2＋|FE→|2＋|ED→|2＋2BF→·FE→＋2FE→·ED→＋2BF→·ED→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.8．C[解析]由空间两点间距离公式可得x＋y＋z＝0.9．C[解析]对于实数λ、μ，形如λa＋μb的向量都与向量a，b是共面向量．因为a＝12()a＋b＋12(a－b)，故选项A中的三个向量共面；因为b＝12(a＋b)－12(a－b)，故选项B中的三个向量共面；因为a＋2b＝32(a＋b)－12(a－b)，故选项D中的三个向量共面．对选项C，我们设c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)，则(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－c＝0，由于{a，b，c}为空间的一个基底，故a，b，c不共面，所以(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－c＝0⇔λ＋μ＝0，λ－μ＝0，－1＝0，这显然是不可能成立的，故选项C中的三个向量是不共面的，正确选项为C.10.125[解析]向量a在向量b的方向上的投影等于|a|·cos〈a，b〉＝|a|a·b|a||b|＝a·b|b|＝125.11．120°[解析]由于AB→＝(－2，－1,3)，CA→＝(－1,3，－2)，则cosθ＝cos〈AB→，CA→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214×14＝－12，则θ＝120°.12.xa＋yb＋zc＝1[解析]根据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的情况进行类比．通过直线方程的结构形式，可以类比得出平面的方程为xa＋yb＋zc＝1.13.23[解析]如图，AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，所以|AC′|＝|AC′→|＝|AB→＋AD→＋AA′→|＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→·AD→＋AB→·AA′→＋AD→·AA′→＝1＋4＋9＋21×3×cos60°＋2×3×cos60°＝23.414．[解答]由于(a＋b)⊥(2a－b)，则(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝2|a|2－|b|2＋|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝|b|2－2|a|2|a|·|b|，又(a－2b)⊥(2a＋b)，则(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b＝2|a|2－2|b|2－3|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝2|a|2－2|b|23|a|·|b|，所以|b|2－2|a|2|a|·|b|＝2|a|2－2|b|23|a|·|b|，即5|b|2＝8|a|2，即|b|＝2105|a|，所以cos〈a，b〉＝|b|2－2|a|2|a|·|b|＝85|a|2－2|a|2|a|·2105|a|＝－1010.15．[解答]如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A0，－22a,0，B22a,0,0，C0，22a,0，D0,0，22a，E0，－24a，24a，F24a，24a,0.(1)|EF→|2＝24a－02＋24a＋24a2＋0－24a2＝34a2，∴|EF|＝32a.(2)OE→＝0，－24a，24a，OF→＝24a，24a，0，OE→·OF→＝0×24a＋－24a×24a＋24a×0＝－a28，|OE→|＝a2，|OF→|＝a2，cos〈OE→，OF→〉＝OE→·OF→|OE→||OF→|＝－12，∴∠EOF＝120°.【难点突破】16．[解答]设OQ→＝λOP→＝(λ，λ，2λ)，则QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA→·QB→＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6λ－432－23，5∴当λ＝43时，QA→·QB→取得最小值－23，此时OQ→＝43，43，83，即Q43，43，83.