1课时作业(五十)A[第50讲抛物线][时间:35分钟分值:80分]基础热身1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是()A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)2.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为()A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x3.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115D.37164.点A,B在抛物线x2=2py(p0)上,若A,B的中点是(x0,y0),当直线AB的斜率存在时,其斜率为()A.2py0B.py0C.px0D.x0p能力提升5.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=06.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-27.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()A.12B.1C.2D.48.已知点M是抛物线y=14x2上一点,F为抛物线的焦点,A在圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为()A.2B.3C.4D.59.已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则a的值为________.10.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.11.给定抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0),斜率为k的直线与C相交于M,N两点,若线段MN的中点在直线x=3上,则k=________.12.(13分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).(1)若点F到直线l的距离为3,求直线l的斜率;(2)设A,B为抛物线上两点,且直线AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰好过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.2难点突破13.(12分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限.(1)求证:以线段FA为直径的圆与y轴相切;(2)若FA→=λ1AP→,BF→=λ2FA→,λ1λ2∈14,12,求λ2的取值范围.3课时作业(五十)A【基础热身】1.B[解析]由y2=-8x,易知焦点坐标是(-2,0).2.B[解析]抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F坐标为a4,0,则直线l的方程为y=2x-a4,它与y轴的交点为A0,-a2,所以△OAF的面积为12a4·a2=4,解得a=±8.所以抛物线方程为y2=±8x.3.A[解析]设动点P到直线l1和直线l2的距离之和为d,直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即dmin=|4-0+6|5=2.4.D[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则x21=2py1,x22=2py2,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=2p(y1-y2),即kAB=y1-y2x1-x2=x1+x22p=x0p.【能力提升】5.D[解析]因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心.又知该圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0.6.B[解析]抛物线的焦点Fp2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,将其代入y2=2px,得y2-2py-p2=0,所以y1+y22=p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.7.C[解析]方法1:∵抛物线的准线方程为x=-p2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=16.∴3--p2=4,∴p=2.方法2:作图可知,抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0),所以-p2=-1,解得p=2.8.C[解析]由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C、M、H、A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值,于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.故选C.9.-14[解析]抛物线方程为x2=1ay,故其准线方程是y=-14a=1,解得a=-14.10.324[解析]设抛物线的焦点Fp2,0,由B为线段FA的中点,所以Bp4,1,代入抛物线方程得p=2,则B到该抛物线准线的距离为p4+p2=3p4=324.411.±22[解析]过点A(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1),与抛物线方程联立后消掉y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x1=4-2k2k2,x1x2=1.因为线段MN的中点在直线x=3上,所以x1+x2=6,即4-2k2k2=6,解得k=±22.而此时k2x2+(2k2-4)x+k2=0的判别式大于零,所以k=±22.12.[解答](1)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4).由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),因为点F到直线l的距离为3,所以|3k|1+k2=3,解得k=±22,所以直线l的斜率为±22.(2)证明:设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线MN的斜率为y0x0-4,因为AB不垂直于x轴,所以直线AB的斜率为4-x0y0,直线AB的方程为y-y0=4-x0y0(x-x0),联立方程y-y0=4-x0y0x-x0,y2=4x,消去x,得1-x04y2-y0y+y20+x0(x0-4)=0,所以y1+y2=4y04-x0,因为N为AB中点,所以y1+y22=y0,即2y04-x0=y0,所以x0=2,即线段AB中点的横坐标为定值2.【难点突破】13.[解答](1)证明:由已知Fp2,0,设A(x1,y1),则y21=2px1,圆心坐标为2x1+p4,y12,圆心到y轴的距离为2x1+p4,圆的半径为|FA|2=12×x1--p2=2x1+p4,所以,以线段FA为直径的圆与y轴相切.(2)解法一:设P(0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由FA→=λ1AP→,BF→=λ2FA→,得x1-p2,y1=λ1(-x1,y0-y1),p2-x2,-y2=λ2x1-p2,y1,所以x1-p2=-λ1x1,y1=λ1(y0-y1),p2-x2=λ2x1-p2,y2=-λ2y1,由y2=-λ2y1,得y22=λ22y21.又y21=2px1,y22=2px2,所以x2=λ22x1.5代入p2-x2=λ2x1-p2,得p2-λ22x1=λ2x1-p2,p2(1+λ2)=x1λ2(1+λ2),整理得x1=p2λ2,代入x1-p2=-λ1x1,得p2λ2-p2=-λ1p2λ2,所以1λ2=1-λ1λ2,因为λ1λ2∈14,12,所以λ2的取值范围是43,2.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:x=my+p2,将x=my+p2代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2(*).由FA→=λ1AP→,BF→=λ2FA→,得x1-p2,y1=λ1(-x1,y0-y1),p2-x2,-y2=λ2x1-p2,y1,所以x1-p2=-λ1x1,y1=λ1(y0-y1),p2-x2=λ2x1-p2,y2=-λ2y1,将y2=-λ2y1代入(*)式,得y21=p2λ2,所以2px1=p2λ2,x1=p2λ2.代入x1-p2=-λ1x1,得1λ2=1-λ1λ2,因为λ1λ2∈14,12,所以λ2的取值范围是43,2.