1课时作业(六十六)[第66讲合情推理与演绎推理][时间:45分钟分值:100分]基础热身1.在等差数列{an}中,若an0,公差d0,则有a4·a6a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn0,公比q1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A.b4+b8b5+b7B.b4+b8b5+b7C.b4+b7b5+b8D.b4+b7b5+b82.规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进3步,然后再退2步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方向,以1步的距离为1个单位长度移动,令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标,且P(0)=0,则下列结论中错误的是()A.P(2007)=403B.P(2008)=404C.P(2009)=403D.P(2010)=4043.已知命题:若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m≠n,m、n∈N*),则am+n=bn-amn-m;现已知等比数列{bn}(bn0,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m、n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=()A.m-nbmanB.n-mbnamC.n-mbnamD.n-mbman4.有下列推理:①A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则P的轨迹为椭圆;②由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式;③由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=πab;④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.以上推理不是归纳推理的序号是________.(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),n∈N,则f2013(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx6.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人C.由平面正三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=12an-1+1an-1(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式27.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面的方程为()A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=08.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=13x是指数函数(小前提),所以y=13x是增函数(结论)”,上面推理的错误是()A.大前提错导致结论错B.小前提错导致结论错C.推理形式错导致结论错D.大前提和小前提错都导致结论错9.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为()124357681012911131517141618202224A.105B.106C.107D.10810.对于命题:若O是线段AB上一点,则有|OB→|·OA→+|OA→|·OB→=0.将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,则有S△OBC·OA→+S△OCA·OB→+S△OAB·OC→=0.将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有________.11.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看做(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,若将R看做(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:________________②,②式可以用语言叙述为:________________.12.在计算“11×2+12×3+…+1nn+1(n∈N*)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:1kk+1=1k-1k+1,由此得11×2=11-12,12×3=12-13,…,1nn+1=1n-1n+1,相加,得11×2+12×3+…+1nn+1=1-1n+1=nn+1.类比上述方法,请你计算“11×2×3+12×3×4+…+1nn+1n+2(n∈N*)”,其结果为________.13.如图K66-1,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……3图K66-1试用n表示出第n个图形的边数an=________.14.(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图K66-2为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);(2)证明:1f1+1f2+1f3+…+1fn43.图K66-215.(13分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图K66-3为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求1f1+1f2-1+1f3-1+…+1fn-1的值.图K66-3难点突破16.(12分)规定Cmx=x·x-1·…·x-m+1m!,其中x∈R,m是正整数,且C0x=1,这是组合数Cmn(m,n是正整数,且m≤n的一种推广).(1)求C5-15的值;(2)组合数的两个性质:①Cmn=Cn-mn.②Cmn+Cm-1n=Cmn+1.是否都能推广到Cmx(x∈R,m是正整然)的情形?若能推广,请写出推广的形式,并给出证明;若不能,则说明理由.(3)已知组合数Cmn是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,Cmx∈Z.4课时作业(六十六)【基础热身】1.A[解析]在等差数列{an}中,由于4+6=3+7时有a4·a6a3·a7,所以在等比数列{bn}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8b5+b7或b4+b8b5+b7.∵b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7∴(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).∵q1,bn0,∴b4+b8b5+b7.故选A.2.D[解析]显然每5秒前进一个单位,且P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1,∴P(2007)=P(5×401+2)=401+2=403,P(2008)=404,P(2009)=403,P(2010)=402,故选D.3.B[解析]等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,等差数列中的bn-am可以类比等比数列中的bnam,等差数列中的bn-amn-m可以类比等比数列中的n-mbnam.故bm+n=n-mbnam.4.①③④[解析]①为演绎推理,②为归纳推理,③④为类比推理.【能力提升】5.C[解析]f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=cosx=f1(x),f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x),fn+4(x)=…=…=fn(x),故可猜测fn(x)以4为周期,有f4n+1(x)=f1(x)=cosx,f4n+2(x)=f2(x)=-sinx,f4n+3(x)=f3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f4(x)=sinx,所以f2013(x)=f503×4+1(x)=f1(x)=cosx,故选C.6.A[解析]两条直线平行,同旁内角互补——大前提,∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提,∠A+∠B=180°——结论.故A是演绎推理,而B、D是归纳推理,C是类比推理.故选A.7.A[解析]类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0即x+2y-z-2=0.8.A[解析]y=ax是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错.9.C[解析]由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.10.VO-BCD·OA→+VO-ACD·OB→+VO-ABD·OC→+VO-ABC·OD→=0[解析]平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积,类比到空间就是几何体的体积.11.43πR3′=4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数12.n2+3n4n+1n+2[解析]∵1kk+1k+2=121kk+1-1k+1k+2,依次裂项,求和5得n2+3n4n+1n+2.13.3×4n-1[解析]a1=3,a2=12,a3=48,可知an=3×4n-1.14.[解答](1)f(4)=37,f(5)=61.由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,f(4)-f(3)=37-19=3×6,f(5)-f(4)=61-37=4×6,…因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.(2)证明:当k≥2时,1fk=13k2-3k+113k2-3k=131k-1-1k.所以1f1+1f2+1f3+…+1fn1+131-12+12-13+…+1n-1-1n=1+131-1n1+13=43.15.[解答](1)f(5)=41.(2)由题图可得f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4.由上式规律,可得f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n+1)=f(n)+4n,所以f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时,1f1+1f2-1+1f3-1+…+1fn-1=11+12×22-2×2+1-1+12×32-2×3+