2013届人教A版理科数学课时试题及解析67数学证明高中数学练习试题

1课时作业(六十七)[第67讲数学证明][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1D．以上都不对2．在△ABC中，已知sinA＋cosA＝12，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．设a，b，c均为正实数，那么a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于24．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________．能力提升5．一个质点从A出发依次沿图中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A(如图K67－1所示)，其中：AB⊥BC，AB∥CD∥EF∥HG∥IJ，BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n＝()图K67－1A．2B．3C．4D．56．已知acbd＝ad－bc，则48610＋12161418＋…＋2004200820062010＝()A．－2008B．2008C．2010D．－20107．△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，cosA、cosB、cosC成等差数列，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．已知关于x的不等式ax－5x2－a0的解集为M，且3∈M,5∉M，则实数a的取值范围为()A.1，53∪(9,25)B.1，53∪(9,25]2C.1，53∪[9,25)D.1，53∪[9,25]9．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②ab与ab及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．310．观察下表：12343456745678910……则第________行的各数之和等于20092.11．如图K67－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，n∈N)个点，每个图形总的点数记为an，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2010a2011＝________.图K67－212．若直线ax＋2by－2＝0(a0，b0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为________．13．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有fx1＋fx2＋…＋fxnn≤fx1＋x2＋…＋xnn.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．14．(10分)已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.15.(13分)试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小．当n＝1时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；当n＝2时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；当n＝3时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；当n＝4时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)．猜想一个一般性结论，并加以证明．3难点突破16．(12分)数列{an}(n∈N*)中，a1＝0，an＋1是函数fn(x)＝13x3－12(3an＋n2)x2＋3n2anx的极小值点，求通项an.4课时作业(六十七)【基础热身】1．B[解析]“不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.2．C[解析]由sinA＋cosA＝12，得，(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝14，∴sinAcosA0.∵A∈(0，π)，∴sinA0，cosA0，∴A∈π2，π.故选C.3．D[解析]因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6，故选D.4．xy[解析]x2－y2＝a＋b＋2ab2－(a＋b)＝－a＋b－2ab2＝－a－b22.∵a，b是不相等的正数，∴a≠b，∴(a－b)20，∴－a－b220，∴x2y2.又∵x0，y0，∴xy.【能力提升】5．B[解析]只需测量AB，BC，GH这3条线段的长．6．A[解析]∵48610＝－8，12161418＝－8，…，2004200820062010＝－8，区间[4,2010]中共有1004个偶数，若每四个偶数为一组，共有251组，∴48610＋12161418＋…＋2004200820062010＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8251个＝－8×251＝－2008，故选A.7．A[解析]∵cosA，cosB，cosC成等差数列，∴2cosB＝cosA＋cosC＝2cosA＋C2cosA－C2＝2sinB2cosA－C2，∴cos(A－C)＝2cos2A－C2－1＝2cos2Bsin2B2－1.①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC，∴2sin2B＝cos(A－C)＋cosB，∴cos(A－C)＝2sin2B－cosB，②将①代入②整理得：(2cosB－1)(cosB－3)(cosB＋1)＝0.∵0Bπ，∴cosB＝12，∴B＝π3，∴cos(A－C)＝1，∵－πA－Cπ，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形，故选A.8．B[解析](1)当a≠25时，3∈M，5∉M⇒3a－59－a0，5a－525－a≥0⇒a9或a53，1≤a25⇒a∈1，53∪(9,25)．(2)当a＝25时，不等式为25x－5x2－250，解之得M＝(－∞，－5)∪15，5，则3∈M且5∉M，5∴a＝25满足条件，综上可得a∈1，53∪(9,25]．9．C[解析]①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.选C.10．1005[解析]由题意归纳出第n行的各数之和为(2n－1)2,2n－1＝2009，n＝1005.11.20092010[解析]an＝3(n－1)，anan＋1＝9n(n－1)，裂项求和即可．12．3＋22[解析]由题知直线经过圆心(2,1)，则有a＋b＝1，所以1a＋2b＝(a＋b)1a＋2b＝3＋ba＋2ab≥3＋22.13.332[解析]sinA＋sinB＋sinC≤3sinA＋B＋C3＝3sinπ3＝332.14．[解答]证明：假设三式同时大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c164.①又(1－a)a≤1－a＋a22＝14，(1－b)b≤14，(1－c)c≤14.所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．15．[解答]结论：当n≥3时，nn＋1(n＋1)n(n∈N*)恒成立．证明：①当n＝3时，34＝8164＝43成立；②假设当n＝k(k≥3)时成立，即kk＋1(k＋1)k成立，即kk＋1k＋1k1，则当n＝k＋1时，∵k＋1k＋2k＋2k＋1＝(k＋1)·k＋1k＋2k＋1(k＋1)·kk＋1k＋1＝kk＋1k＋1k1，∴(k＋1)k＋2(k＋2)k＋1，即当n＝k＋1时也成立．∴当n≥3时，nn＋1(n＋1)n(n∈N*)恒成立．【难点突破】16．[思路]先求导，再分类讨论求出an＋1的关系式，最后运用“归纳——猜想——证明”的思想求通项an.[解答]易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)，令f′n(x)＝0，得x＝3an或x＝n2，(1)若3ann2，当x3an时，f′n(x)0，fn(x)单调递增；当3anxn2时，f′n(x)0，fn(x)单调递减；当xn2时，f′n(x)0，fn(x)单调递增，故fn(x)在x＝n2时，取得极小值．(2)若3ann2，仿(1)可得，fn(x)在x＝3an时取得极小值．(3)若3an＝n2，f′n(x)≥0，fn(x)无极值．因a1＝0，则3a112，由(1)知，a2＝12＝1.因3a2＝322，由(1)知a3＝22＝4，因3a3＝1232，由(2)知a4＝3a3＝3×4，因3a4＝3642，由(2)知a5＝3a4＝32×4，6由此猜想：当n≥3时，an＝4×3n－3.下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3ann2.事实上，当n＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n＝k(k≥3)时，3akk2成立，则由(2)知ak＋1＝3akk2，从而3ak＋1－(k＋1)23k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－10，所以3ak＋1(k＋1)2.故当n≥3时，an＝4×3n－3，于是由(2)知，当n≥3时，an＋1＝3an，而a3＝4，因此an＝4×3n－3，综上所述，an＝0n＝1，1n＝2，4×3n－3n≥3.