空间向量及其运算复习课

空间向量及其运算复习课知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和_______的量相等向量方向________且模______的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相_____或_________共面向量平行于_____________的向量方向相同相等平行重合同一平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝_____.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝______.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝____________，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底.λbxa＋ybxa＋yb＋zc3.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b____________________共线a＝λb(b≠0)_________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_______________________模|a|_________________夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23考点一空间向量的线性运算【例1】如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)MP→＋NC1→.PDDAAAAP1111)1(解：ABADAA211cba21APMAMP)2(cbaAA21211cba212111CCNCNC121AAADca21cacbaNCMP2121211cba232123【训练1】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x＋y＋z＝________.解：MGOMOGMNOA3221)(3221OMONOAOAOCOBOA21)(213221OCOBOA31316131,31,61zyx65zyx考点二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.CGBCEBEG)1(解：CGFCBFEBFGEF共面由共面向量定理得EHEFEG,,BDEF21EHEF四点共面HGFE,,,考点二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.解：AEAHEH)2(ABAD2121)(21ABADBD21BDEH//EFGHBDEFGHEH平面平面又,EFGHEH平面//【训练2】如图空间两个平行四边形共边AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE.求证：MN∥平面CDE.解：ANBAMBMNAEBADB3131)(31)(31DEADCDCDCBDEADCDCDCB31313131DCDE3231共面由共面向量定理得DCDEMN,,CDEMN平面又CDEMN平面//考点三空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.解：cADbACaAB,,)1(设60,,,两两夹角为且则cbaacbaAMANMNABADAC21)(21cba212121acbaABMN)212121(acaba212121260cos2160cos21212acaba0414121222aaaABMNCDMN同理可得【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.解：)(21)2(ADACANcb2121)(21CBCACM)(2121ACABACba21)21()2121(bacbCMANbcbacab21214141260cos212160cos4160cos412bcbacab221a,43)2121(2222acbANANaAN23aCM23同理32232321,cos2aaaCMANCMANCMAN32所成角的余弦值为与CMAN【训练3】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC→1的长.(2)求BD→1与AC→夹角的余弦值.解：cAAbADaAB1,,)1(设60,,,1两两夹角为且则cbacba11CCBCABACcba22121)(cbaACACcbcabacba222222661AC60cos260cos260cos2222cbcabacba【训练3】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC→1的长.(2)求BD→1与AC→夹角的余弦值.解：cbaDDADBABD11)2(baBCABAC)()(1bacbaACBDbcbbaacaba2260cos60cos60cos60cos22bcbbaacaba1211212121122121)(cbaBDBD又21BD3AC同理66321,cos111ACBDACBDACBD661夹角的余弦值为与ACBD