2013年北京高考数学理高考试题历年数学高考试题

联系电话：62164116、82618899学理科到学而思第1页绝密★启封前机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合101A，，，|11Bxx≤，则AB（）A．0B．10，C．01，D．101，，（2）在复平面内，复数22i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（3）“π”是“曲线sin2yx过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．23C．1321D．610987否是结束输出Si≥2i=i+1S=S2+12S+1i=0,S=1开始联系电话：62164116、82618899学理科到学而思第2页（5）函数fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线exy关于y轴对称，则fx（）A．1exB．1exC．1exD．1ex（6）若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为（）A．2yxB．2yxC．12yxD．22yx（7）直线l过抛物线2:4Cxy的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．43B．2C．83D．1623（8）设关于x，y的不等式组21000xyxmym，，表示的平面区域内存在点00Pxy，，满足0022xy，求得m的取值范围是（）A．43，B．13，C．23，D．53，联系电话：62164116、82618899学理科到学而思第3页第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26，到直线sin2的距离等于．（10）若等比数列na满足2420aa，3540aa，则公比q；前n项和nS．（11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若3PA，:9:16PDDB，则PD，AB．BAPDO（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．（13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cabR，，则．abc（14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在线段1DE上，点P到直线1CC的距离的最小值为．EPDCBAC1B1A1D1三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤（15）（本小题共13分）在ABC△中，3a，26b，2BA．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．联系电话：62164116、82618899学理科到学而思第4页（16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日5日4日3日2日1日03779861581211602174016022014357258650100150200250（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，11AACC是边长为4的正方形．平面ABC平面11AACC，3AB，5BC．（Ⅰ）求证：1AA平面ABC；（Ⅱ）求证二面角111ABCB的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADAB，并求1BDBC的值.（18）（本小题共13分）设l为曲线ln:xCyx在点1,0处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点1,0之外，曲线C在直线l的下方．（19）（本小题共14分）已知,,ABC是椭圆22:14xWy上的三个点，O是坐标原点.（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.（20）（本小题共13分）已知na是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为nA，第n项之后各项12,nnaa的最小值记为nB，nnndAB．（Ⅰ）若na为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*nN，4nnaa），写出1234,,,dddd的值;（Ⅱ）设d是非负整数，证明：1,2,3nddn的充分必要条件为na是公差为d的等差数列;（Ⅲ）证明：若12a，11,2,3,ndn，则na的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.C1B1A1ABC