2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题上海春季卷高中数学练习试题

12013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。1．函数2log(2)yx的定义域是2．方程28x的解是3．抛物线28yx的准线方程是4．函数2sinyx的最小正周期是5．已知向量(1)ak，，(96)bk，。若//ab，则实数k6．函数4sin3cosyxx的最大值是7．复数23i（i是虚数单位）的模是8．在ABC中，角ABC、、所对边长分别为abc、、，若5860abB，，，则b=9．在如图所示的正方体1111ABCDABCD中，异面直线1AB与1BC所成角的大小为10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）。11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和n=S。12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。13．展开式为ad-bc的行列式是（）D1C1B1A1DCAB2（A）abdc(B)acbd(C)adbc(D)badc14．设-1()fx为函数()fxx的反函数，下列结论正确的是（）(A)1(2)2f(B)1(2)4f(C)1(4)2f(D)1(4)4f15．直线2310xy的一个方向向量是（）(A)(23)，(B)(23)，(C)(32)，(D)(32)，16．函数12()fxx的大致图像是（）17．如果0ab，那么下列不等式成立的是（）(A)11ab(B)2abb(C)2aba(D)11ab18．若复数12zz、满足21zz，则12zz、在复数平面上对应的点12ZZ、（）(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线yx对称19．10(1)x的二项展开式中的一项是（）（A）45x（B）290x（C）3120x（D）4252x20．既是偶函数又在区间(0)，上单调递减的函数是（）（A）sinyx（B）cosyx（C）sin2yx（D）cos2yx21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）（A）1:2（B）1:4（C）1:8（D）1:1622．设全集UR，下列集合运算结果为R的是（）（A）uZNð（B）uNNð（C）()uu痧（D）{0}uð23．已知abcR、、，“240bac”是“函数2()fxaxbxc的图像恒在x轴上方”0xy0xyBA0xyC0xyD3的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件24．已知AB、为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2MNANNB，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是（）（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABCABC中，16AA，异面直线1BC与1AA所成角的大小为6，求该三棱柱的体积。26．（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。27．（本题满分8分）已知数列{}na的前n项和为2nSnn，数列{}nb满足2nanb，求12limnnbbb（）。ABCB1A1C1ACB428．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。已知椭圆C的两个焦点分别为1(10)F，、2(10)F，，短轴的两个端点分别为12BB、（1）若112FBB为等边三角形，求椭圆C的方程;（2）若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与椭圆C相交于PQ、两点，且11FPFQ，求直线l的方程。[解]（1）（2）29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。已知抛物线24Cyx：的焦点为F。（1）点AP、满足2APFA。当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线2yx的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。[解]（1）（2）530．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点nP在x轴上，其横坐标为nx，且{}nx是首项为1、公比为2的等比数列，记1nnnPAP，nN。（1）若31arctan3，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为(082)，，求n的最大值及相应n的值。[解]（1）（2）31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。已知真命题：“函数()yfx的图像关于点()Pab、成中心对称图形”的充要条件为“函数()yfxab是奇函数”。（1）将函数32()3gxxx的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()gx图像对称中心的坐标；（2）求函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数()yfx的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数()yfxab是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。P20xyAP1P3P462013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。1．(2,)2．33．2x4．25．346．57．138．79．310．4511．25766nn12．4836二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。13．B14．B15．D16．A17．D18．A19．C20．B21．C22．A23．D24．C三．（第25至31题）25．[解]因为1CC1AA.所以1BCC为异面直线1BC与1AA.所成的角，即1BCC=6。在Rt1BCC中，113tan6233BCCCBCC,从而23334ABCSBC,因此该三棱柱的体积为1336183ABCVSAA.26．[解]如图，设矩形为EBFP,FP长为x米，其中040x，ABCFPE7健身房占地面积为y平方米。因为CFP∽CBA，以FPCFBACB，504050xBF,求得5504BFx，从而255(50)5044yBFFPxxxx25(20)5005004x，当且仅当20x时，等号成立。答：该健身房的最大占地面积为500平方米。27．[解]当2n时，221(1)(1)22nnnassnnnnn。且110as，所以na22n。因为22112()4nnnb，所以数列{}nb是首项为1、公比为14的无穷等比数列。故12limnnbbb（）141314。28．[解]（1）设椭圆C的方程为22221(0)xyabab。根据题意知2221abab，解得243a，213b故椭圆C的方程为2214133xy。（2）容易求得椭圆C的方程为2212xy。当直线l的斜率不存在时，其方程为1x，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)ykx。由22(1)12ykxxy得2222(21)42(1)0kxkxk。设1122()()PxyQxy，，，，则2212121111222242(1)(1)(1)2121kkxxxxFPxyFQxykk，，，，，因为11FPFQ，所以110FPFQ,即821212121212(1)(1)()1(1)(1)xxyyxxxxkxx2221212(1)(1)()1kxxkxxk2271021kk，解得217k，即77k。故直线l的方程为710xy或710xy。29．（1）设动点P的坐标为()xy，，点A的坐标为()AAxy，,则()AAAPxxyy，,因为F的坐标为(10)，，所以(1)AAFAxy，，由2APFA得()2(1)AAAAxxyyxy，，。即2(1)2AAAAxxxyyy解得2AAxxyy代入24yx，得到动点P的轨迹方程为284yx。（2）设点Q的坐标为(0)t，.点Q关于直线2yx的对称点为()Qxy，，则122yxtyxt解得3545xtyt若Q在C上，将Q的坐标代入24yx，得24150tt，即0t或154t。所以存在满足题意的点Q，其坐标为(00)，和15(0)4，。30．[解]（1）设(0)At，，根据题意，12nnx。由31arctan3，知31tan3，而3443343223443()4tantan()321xxtxxtttOAPOAPxxtxxttt，所以241323tt，解得4t或8t。故点A的坐标为(04)，或(08)，。9（2）由题意，点nP的坐标为1(20)n，，12tan82nnOAP。11112122218282tantan()2221622182828282282nnnnnnnnnnnOAPOAP。因为162222282nn，所以12tan422n，当且仅当1622282nn，即4n时等号成立。易知0tan2nyx，在(0)2，上为增函数，因此，当4n时，n最大，其最大值为2arctan4。31．（1）平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2yxx，整理得33yxx，由于函数33yxx是奇函数，由题设真命题知，函数()gx图像对称中心的坐标是(12)，。（2）设22()log4xhxx的对称中心为()Pab，，由题设知函数()hxab是奇函数。设()(),fxhxab则22()()log4()xafxbxa，即222()log4xafxbax。由不等式2204xaax的解集关于原点对称，得2a。此时22(2)()log(22)2xfxbxx，，。任取(2,2)x，由()()0fxfx，得1b，所以函数22()log4xhxx图像对称中心的坐标是(21)，。（3）此命题是假命题。举反例说明：函数()fxx的图像关于直线yx成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数()yfxab，即yxab总不是偶函数。10修改后的真命题：“函数()yfx的图像关于直线xa成轴对称图像”的充要条件是“函数()yfxa是偶函数”。