2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题北京卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．已知集合1,0,1A，|11Bxx，则AB（）A．0B．1,0C．0,1D．1,0,12．设,,abcR,且ab,则()（A）acbc（B）11ab（C）22ab（D）33ab3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（A）1yx(B)xye（C）21yx(D)lg||yx4．在复平面内，复数(2)ii对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限5．在△ABC中，3,5ab,1sin3A,则sinB（A）15（B）59（C）53（D）16．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1（B）23（C）1321（D）610987开始是否0,1iS2121SSS1ii2i≥输出S结束27．双曲线221yxm的离心率大于2的充分必要条件是A．12mB．1mC．1mD．2m8．如图，在正方体1111ABCDABCD中，P为对角线1BD的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有（）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个第二部分（非选择题共110分）二．填空题共6题，每小题5分，共30分。9．若抛物线22ypx的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____.10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.11．若等比数列na满足243520,40aaaa，则公比q=__________;前n项nS=_____.12．设D为不等式组02030xxyxy，表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.13．函数f（x）=12log,12,1xxxx的值域为_________.1俯视图侧（左）视图正（主）视图21121D1BPD1CCBA1A314．已知点(1,1)A，(3,0)B，(2,1)C.若平面区域D由所有满足APABAC10（2，1）的点P组成，则D的面积为__________.三．解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）已知函数21(2cos1)sin2cos42fxxxx（）.（I）求fx（）的最小正周期及最大值；（II）若(,)2，且22f（），求的值.16．(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率;（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：（1）PA底面ABCD；（2）//BE平面PAD；（3）平面BEF平面PCD418．（本小题共13分）已知函数2()sincosfxxxxx.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(,())afa)处与直线yb相切，求a与b的值。（Ⅱ）若曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。19．（本小题共14分）直线ykxm（0m）W：2214xy相交于A，C两点，O是坐标原点（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。20．本小题共13分）给定数列12naaa，，，.对1,2,,1in，该数列前i项的最大值记为iA，后ni项12iinaaa，，，的最小值记为iB，iiidAB.（Ⅰ）设数列na为3，4，7，1，写出1d，2d，3d的值;（Ⅱ）设12naaa，，，（4n）是公比大于1的等比数列，且10a.证明：1d，2d，…，1nd是等比数列；（Ⅲ）设1d，2d，…，1nd是公差大于0的等差数列，且10d，证明：1a，2a，…，1na是等差数列.5参考答案一．选择题：1．B2．D3．C4．A5．B6．C7．C8．B二．填空题：9．2，1x10．311．2，122n12．25513．（－∞，2）14．3三．解答题：15．解：（I）因为21(2cos1)sin2cos42fxxxx（）=1cos2sin2cos42xxx=1(sin4cos4)2xx=2sin(4)24x，所以()fx的最小正周期为2，最大值为22.（II）因为22f（），所以sin(4)14.因为(,)2，所以9174(,)444，所以5442，故916.16．解：（I）在3月1日至3月13日这13天中，1日．2日．3日．7日．12日．13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.（II）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为413.（III）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17．（I）因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.（II）因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD所以BE∥平面PAD.（III）因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由（I）知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.618．解：由2()sincosfxxxxx，得()(2cos)fxxx.（I）因为曲线()yfx在点(,())afa处与直线yb相切，所以()(2cos)0faaa()bfa，解得0a，(0)1bf.（II）令()0fx，得0x.()fx与()fx的情况如下：(,0)0(0,)()0()1xfxfx所以函数()fx在区间(,0)上单调递减，在区间(0,)上单调递增，(0)1f是()fx的最小值.当1b时，曲线()yfx与直线yb最多只有一个交点；当1b时，2(2)(2)421fbfbbb421bbb,(0)1fb,所以存在1(2,0)xb，2(0,2)xb，使得12()()fxfxb.由于函数()fx在区间(,0)和(0,)上均单调，所以当1b时曲线()yfx与直线yb有且只有两个不同交点.综上可知，如果曲线()yfx与直线yb有且只有两个不同交点，那么b的取值范围是(1,).19．解：（I）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设1(,)2At，代入椭圆方程得21144t，即3t.所以|AC|=23.（II）假设四边形OABC为菱形.7因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB,所以0k.由2244xyykxm，消去y并整理得222(14)8440kxkmxm.设A1,1()xy,C2,2()xy，则1224214xxkmk，121222214yyxxmkmk.所以AC的中点为M（2414kmk，214mk）.因为M为AC和OB的交点，且0m，0k，所以直线OB的斜率为14k.因为1()14kk，所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.20．解：（I）1232,3,6ddd.（II）因为10a，公比1q，所以12naaa，，，是递增数列.因此，对1,2,,1in，iiAa，1iiBa.于是对1,2,,1in，111(1)iiiiiidABaaaqq.因此0id且1iidqd（1,2,,2in），即1d，2d，…，1nd是等比数列.（III）设d为1d，2d，…，1nd的公差.对12in，因为1iiBB，0d，所以111iiiABdiiBddiiBd=iA.又因为11max,iiiAAa，所以11iiiiaAAa.从而121naaa，，，是递增数列，因此iiAa（1,2,,2in）.又因为111111BAdada，所以1121nBaaa.因此1naB.所以121nnBBBa.所以iiaA=iiniBdad.因此对1,2,,2in都有11iiiiaaddd，即1a，2a，…，1na是等差数列.