2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题四川卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A，集合{2,2}B，则AB（）（A）（B）{2}（C）{2,2}（D）{2,1,2,3}2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）（A）棱柱（B）棱台（C）圆柱（D）圆台3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A（B）B（C）C（D）D4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2pxAxB，则（）（A）:,2pxAxB（B）:,2pxAxB（C）:,2pxAxB（D）:,2pxAxB5．抛物线28yx的焦点到直线30xy的距离是（）（A）23（B）2（C）3（D）16．函数()2sin()(0,)22fxx的部分图象如图所示，则,的值分别是（）2（A）2,3（B）2,6（C）4,6（D）4,37．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（）0人数0.010.020.030.0451015202530组距频率354000.010.020.030.045101520253035400.05人数组距频率(B)(A)(C)(D)0人数0.010.020.030.0410203040组距频率0人数0.010.020.030.0410203040人数组距频率0人数0.010.020.030.0451015202530组距频率354000.010.020.030.045101520253035400.05人数组距频率0人数0.010.020.030.0410203040组距频率0人数0.010.020.030.0410203040人数组距频率(B)(A)(C)(D)8．若变量,xy满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且5zyx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是（）（A）48（B）30（C）24（D）169．从椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）（A）24（B）12（C）22（D）3210．设函数()xfxexa（aR，e为自然对数的底数）．若存在[0,1]b使(())ffbb成立，则a的取值范围是（）3（A）[1,]e（B）[1,1]e（C）[,1]ee（D）[0,1]第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．11．lg5lg20的值是_____．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则______．13．已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值，则a______．14．设sin2sin，(,)2，则tan2的值是________．15．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A，(1,5)B，(3,6)C，(7,1)D的距离之和最小的点的坐标是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在等比数列{}na中，212aa，且22a为13a和3a的等差中项，求数列{}na的首项、公比及前n项和．17．(本小题满分12分)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3cos()cossin()sin()5ABBABAc．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在24,,3,2,1这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iPi；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为(1,2,3)ii的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．4当2100n时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，122ABACAA，120BAC，1,DD分别是线段11,BCBC的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面1ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面11ADDA；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥11AQCD的体积．（锥体体积公式：13VSh，其中S为底面面积，h为高）20．(本小题满分13分)已知圆C的方程为22(4)4xy，点O是坐标原点．直线:lykx与圆C交于5,MN两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设(,)Qmn是线段MN上的点，且222211||||||OQOMON．请将n表示为m的函数．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx，其中a是实数．设11(,())Axfx，22(,())Bxfx为该函数图象上的两点，且12xx．（Ⅰ）指出函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直，且20x，证明：211xx；（Ⅲ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合，求a的取值范围．6参考答案一、选择题1．B2．D3．B4．C5．D6．A7．A8．C9．C10．A11．112．213．3614．315．（2,4）16．解：设na的公比为q．由已知可得211aqa，211134qaaqa，所以2)1(1qa，0342qq，解得3q或1q，由于2)1(1qa。因此1q不合题意，应舍去，故公比3q，首项11a．所以，数列的前n项和213nnS．………………………………………12分17．解：（Ⅰ）由3cos()cossin()sin()5ABBABAc得53sin)sin(cos)cos(BBABBA，则53)cos(BBA，即53cosA又A0，则54sinA．………………………………………5分（Ⅱ）由正弦定理，有BbAasinsin，所以22sinsinaAbB，由题知ba，则BA，故4B．根据余弦定理，有)53(525)24(222cc，解得1c或7c（负值舍去），向量BA在BC方向上的投影为BBAcos22．……………………………12分18．解：（Ⅰ）变量x是在24,,3,2,1这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可7能．当x从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时，输出y的值为1，故211P；当x从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时，输出y的值为2，故312P；当x从24,18,12,6这4个数中产生时，输出y的值为3，故613P．所以输出y的值为1的概率为21，输出y的值为2的概率为31，输出y的值为3的概率为61．………………………………………6分（Ⅱ）当2100n时，甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率如下，比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．………………………………………12分19．解：（Ⅰ）如图，在平面ABC内，过点P作直线BCl//，因为l在平面BCA1外，BC在平面BCA1内，由直线与平面平行的判定定理可知，//l平面1ABC．由已知，ACAB，D是BC中点，所以BC⊥AD，则直线ADl，又因为1AA底面ABC，所以lAA1，又因为AD，1AA在平面11AADD内，且AD与1AA相交，所以直线l平面11AADD．………………………………………7分（Ⅱ）过D作ACDE于E，因为1AA平面ABC，所以DEAA1，又因为AC，1AA在平面CCAA11内，且AC与1AA相交，所以DE平面CCAA11，由2ACAB，∠BAC120，有1AD，∠DAC60，所以在△ACD中，2323ADDE，又1211111AACASAQC，所以输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲2100102721003762100697乙2100105121006962100353C1A1BCAB1DD1PlQE8631233131111111QCAQCADDQCASDEVV因此三棱锥11AQCD的体积为63．………………………………………12分20．解：（Ⅰ）将xky代入22(4)4xy得则0128)1(22xkxk，（*）由012)1(4)8(22kk得32k．所以k的取值范围是),3()3,(．……………………………4分（Ⅱ）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为),(11kxx，),(22kxx，则2122)1(xkOM，2222)1(xkON，又22222)1(mknmOQ，由222112ONOMOQ得，22221222)1(1)1(1)1(2xkxkmk，所以222121221222122)(112xxxxxxxxm由（*）知22118kkxx，221112kxx，所以353622km，因为点Q在直线l上，所以mnk，代入353622km可得363522mn，由353622km及32k得302m，即)3,0()0,3(m．依题意，点Q在圆C内，则0n，所以518015533622mmn，于是，n与m的函数关系为5180152mn（)3,0()0,3(m）……………………………13分21．解：（Ⅰ）函数()fx的单调减区间为)1,(，单调增区间为)0,1(，),0(．……………………………3分（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A处的切线斜率为)(1xf，点B处的切线斜率为)(2xf，故当点,AB处的切线互相垂直时，有)(1xf1)(2xf，当x0时，22)(xxf因为021xx，所以1)22()22(21xx，所以0221x，0222x，因此1)22()22()]22()22([21212112xxxxxx，（当且仅当122)22(21xx，即231x且212x时等号成立）所以函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直时有211xx．……………………………7分（Ⅲ）当021xx或012xx时，)(1xf)(2xf，故210xx．当01x时，()fx的图象在点))(,(11xfx处的切线方程为)()22()2(11121xxxaxxy即axxxy211)22(．9当02x时，()fx的图象在点))(,(22xfx处的切线方程为)(1ln222xxxxy即1ln122xxxy．两切线重合的充要条件是②①axxxx212121ln221，由①及210xx知，2102x，由①、②得1)21(411ln1)121(ln222222xxxxa，令21xt，则20