2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题安徽卷高中数学练习试题

-1-2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）[试卷总评]2013年安徽文科卷相对于2012年安徽文科卷的难度来说有所加大。从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第19题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第9,13,17,21题），转化思想的考查（第8,10,20题），数形结合的考查（第6，8，10题）等等；（3）注重理论联系实际，如第17题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第21题。从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第1题考查复数，难度不大；第2题考查集合的交与补以及不等式求法；第3题程序框图，简单；第4题充分必要条件，容易题；第5题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第6题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第7题等差数列基本量的求解，简单；第11题考查函数定义域的求法，简单；第12题常规的线性规划题，难度不大；第14题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第8,9,10题，填空题第13,15题难度加大。第8题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第9题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第10题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第13题平面向量，数量积的运算，需要细心；第15题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第16题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第17题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第18题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第19题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第20题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第21题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。[详细解析]一．选择题选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。-2-（1）设i是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D【解析】iaiaiaiiaiiiaia)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a=3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知|10,2,1,0,1AxxB，则()RCAB（）（A）2,1（B）2（C）1,0,1（D）0,1【答案】A【解析】A：1x，}1|{xxACR，}2,1{)(BACR，所以答案选A【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）34（B）16（C）1112（D）2524-3-【答案】C【解析】21210,0,2ssn；434121,21,4ssn；12116143,43,6ssn1211,8sn，输出所以答案选择C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(21)0xx”是“0x”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】210,0)12(或xxx，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为-4-（A）23(B)25(C)35（D）910【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线2550xy被圆22240xyxy截得的弦长为（A）1（B）2（C）4（D）46【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d，半径5r，所以最后弦长为222(5)14.【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设nS为等差数列na的前n项和，8374,2Saa，则9a=（A）6（B）4（C）2（D）2【答案】A【解析】188333636978()4420226aaSaaaaaadaad【考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8)函数()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数12,,,nxxx，-5-使得1212()()()nnfxfxfxxxx，则n的取值范围为(A)2,3(B)2,3,4(C)3,4(D)3,4,5【答案】B【解析】1111()()00fxfxxx表示11(,())xfx到原点的斜率；1212()()()nnfxfxfxxxx表示1122(,())(,())(,())nnxfxxfxxfx，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())nnxfxxfxxfx，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9)设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若2,3sin5sinbcaAB,则角C=(A)3(B)23(C)34(D)56【答案】B【解析】BAsin5sin3由正弦定理，所以baba35,53即；因为acb2，所以ac37，-6-212cos222abcbaC，所以32C，答案选择B【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（10）已知函数32()fxxaxbxc有两个极值点12,xx，若112()fxxx，则关于x的方程23(())2()0fxafxb的不同实根个数为（A）3(B)4(C)5(D)6【答案】A【解析】2'()32fxxaxb，12,xx是方程2320xaxb的两根，由23(())2()0fxafxb，则又两个()fx使得等式成立，11()xfx，211()xxfx，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.二．填空题（11）函数21ln(1)1yxx的定义域为_____________.【答案】0,1-7-【解析】2110011011xxxxx或，求交集之后得x的取值范围0,1【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非负数变量,xy满足约束条件124xyxy，则xy的最大值为__________.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404zxy，取得最大值.【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最大.（13）若非零向量,ab满足32abab，则,ab夹角的余弦值为_______.【答案】13【解析】等式平方得：2222944ababab则22244||||cosaabab，即220443||cosbb得1cos3-8-【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R上的函数()fx满足(1)2()fxfx.若当01x时。()(1)fxxx，则当10x时，()fx=________________.【答案】(1)()2xxfx【解析】当10x，则011x，故(1)(1)(11)(1)fxxxxx又(1)2()fxfx，所以(1)()2xxfx【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.（15）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点,,APQ的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。①当102CQ时，S为四边形②当12CQ时，S为等腰梯形③当34CQ时，S与11CD的交点R满足113CR④当314CQ时，S为六边形⑤当1CQ时，S的面积为62-9-【答案】①②③⑤【解析】（1）12CQ，S等腰梯形，②正确，图如下：（2）1CQ，S是菱形，面积为36222，⑤正确，图如下：（3）34CQ，画图如下：113CR，③正确（4）314CQ，如图是五边形，④不正确；-10-（5）102CQ，如下图，是四边形，故①正确【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。三．解答题（16）（本小题满分12分）设函数()sinsin()3fxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值，并求使()fx取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数()yfx的图像可由sinyx的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）3sincos3cossinsin)(xxxxfxxxxxcos23sin23cos23sin21sin-11-)6sin(3)6sin()23()23(22xx当1)6sin(x时，3)(minxf，此时)(,234,2236Zkkxkx所以，)(xf的最小值为3，此时x的集合},234|{Zkkxx.(2)xysin横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得xysin3；然后xysin3向左平移6个单位，得)6sin(3)(xxf【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.（17）（本小题满分12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙745533253385543331006069112233586622110070022233669754428115582090（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,xx，估计12xx的值.【解析】（1）30300.056000.05nn-12-255306p（2）174013504246092670922805290230x=208430254014503176010337010208059030x=2069302120842069150.5303030xx【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD.已知2,6PBPDPA.（Ⅰ