2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题课标卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．已知集合{1,2,3,4}A，2{|,}BxxnnA,则AB（）（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1}（D）｛-1，,0，1}2．212(1)ii（）（A）112i（B）112i（C）112i（D）112i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）12（B）13（C）14（D）164．已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的离心率为52，则C的渐近线方程为（）（A）14yx（B）13yx（C）12yx（D）yx5．已知命题:pxR，23xx；命题:qxR，321xx，则下列命题中为真命题的是：（）（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq6．设首项为1，公比为23的等比数列{}na的前n项和为nS，则（）（A）21nnSa（B）32nnSa（C）43nnSa（D）32nnSa7．执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t，则输出的S属于2（A）[3,4]（B）[5,2]（C）[4,3]（D）[2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线2:42Cyx的焦点，P为C上一点，若||42PF，则POF的面积为（）（A）2（B）22（C）23（D）49．函数()(1cos)sinfxxx在[,]的图像大致为（）10．已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，223coscos20AA，7a，6c，则b（）（A）10（B）9（C）8（D）511．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）3（A）168（B）88（C）1616（D）81612．已知函数22,0,()ln(1),0xxxfxxx，若|()|fxax，则a的取值范围是（）（A）(,0]（B）(,1](C)[2,1](D)[2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13．已知两个单位向量a，b的夹角为60，(1)ctatb，若0bc，则t_____。14．设,xy满足约束条件13,10xxy，则2zxy的最大值为______。15．已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AHHB，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_______。16．设当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和nS满足30S，55S。（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}nnaa的前n项和。18（本小题满分共12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h），试验的观测结果如下：4服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，160BAA。（Ⅰ）证明：1ABAC；（Ⅱ）若2ABCB，16AC，求三棱柱111ABCABC的体积。C1B1AA1BC20．（本小题满分共12分）已知函数2()()4xfxeaxbxx，曲线()yfx在点(0,(0))f处切线方程为44yx。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）讨论()fx的单调性，并求()fx的极大值。21．(本小题满分12分)5已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长是，求||AB。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。（Ⅰ）证明：DBDC；（Ⅱ）设圆的半径为1，3BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为45cos,55sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin。（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标（0,02）。24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|21||2|fxxxa，()3gxx。（Ⅰ）当2a时，求不等式()()fxgx的解集；（Ⅱ）设1a，且当1[,)22ax时，()()fxgx，求a的取值范围。6参考答案一、选择题1．A；2．B；3．B；4．C；5．B；6．D；7．A；8．C；9．C；10．D；11．A；12．D；二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13．2；14．3；15．92；16．255；三.解答题17．（1）设｛an｝的公差为d，则Sn=1(1)2nnnad。由已知可得111330,1,1.5105,adadad解得n=2-.naan故的通项公式为（2）由（I）知212111111(),(32)(12)22321nnaannnn从而数列21211nnnaa的前项和为1111111-+-++)2-1113232112nnnn（.18．（本小题满分共12分）（1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，又观测结果可得120x（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5）=2.3，1(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.1202.42.52.62.73.21.6y由以上计算结果可得xy，因此可看出A药的疗效更好（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：A药B药60．55689855221．12234678998776543322．1456752103．2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集7中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好。19.【答案】（I）取AB的中点O，连接OCO、1OAO、1AB，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，∠BAA1=600，故,AAB为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC⨅OA1=O，所以AB平面OA1C.又A1CC平面OA1C，故ABAC。(II)由题设知12ABCAAB与都是边长为的等边三角形，12AAB都是边长为的等边三角形，所以22111113,6.OCOAACACOAOAOC又，则，故111111111,-3-=3.ABCABCOCABOOAABCOAABCABCABCSABCVSOA因为所以平面，为棱柱的高，又的面积，故三棱柱ABC的体积20．121()()24.(0)4,(0)4,4,8,4;fxeaxabxffbabab（I）由已知得故从而(II)由（I）知，2)4(1)4,xfxexxx（11()4(2)244(2)().2xxfxexxxe令1()0=-1n2x=-2.fxx得，或从而当11(,2)(10;(22,),12))()xnfxxnfx当时，（时，0.故()--2-12+-2-12fxnn在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减.当2=-2-2=41-)xfxfe时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.21．解：由已知得圆M的圆心为M（-1,0），半径11r;圆N的圆心为N（1,0），半径23r.设知P的圆心为P（x,y）,半径为R.（I）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以1212()()4PMPNRrrRrr.8有椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左.右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆（左定点除外），其方程为221(2)43xyx。（II）对于曲线C上任意一点(,)Pxy，由于222PMPNR，所以R2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为22(2)4xy；若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得23AB.若l的倾斜角不为90°，则1rR知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则1QPRQMr，可求得Q（-4,0），所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得2311kk，解得k=±24。当k=24时，将y=24x+2代入22143xy，并整理得27880xx，解得21,22146218.=1+k77xABxx所以.当k=218=47AB时，有图形的对称性可知.综上，=23AB或187AB.22．解：（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，ABEBCE，而,,ABECBECBEBCEBECE故.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC.（II）由（1），CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以32BG，圆心为O，连接BO，则060BOG，030ABEBCECBE，所以CFBF，故外接圆半径为32.923．解：（1）将45cos55sinxtyt，消去参数t，化学普通方程22(4)(5)25xy，即1C：22810160xyxy，将22cos,810160sinxpxyxyyp代入得28cos10sin160；所以1C极坐标方程为28cos10sin160。（2）2C的普通方程为2220xyy，2222810160=1=0y=2y=2.20xyxyxxxyy，，，解得或，所以12CC与交点的极坐标为(2,),(2,)42.24．解：（I）当2()afx时，不等式g(x)化为21223xxx0.设函数y=21223xxx，则15,212,1,236,1.xxyxxxx其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是02xx；（II）当1,,()1.22axfxa不等式()fx≤g(