2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题上海卷高中数学练习试题

12013年上海市秋季高考理科数学一、填空题1．计算：20lim______313nnn2．设mR，222(1)immm是纯虚数，其中i是虚数单位，则________m3．若2211xxxyyy，则______xy4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若22232330aabbc，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数aR，若52axx的二项展开式中7x项的系数为10，则______a6．方程1313313xx的实数解为________7．在极坐标系中，曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为__________8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA，若AB=4，2BC，则的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值12319,,,,xxxx，则方差_______D11．若12coscossinsin,sin2sin223xyxyxy，则sin()________xy12．设a为实常数，()yfx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()97afxxx，若()1fxa对一切0x成立，则a的取值范围为________13．在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(||1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________214．对区间I上有定义的函数()gx，记(){|(),}gIyygxxI，已知定义域为[0,3]的函数()yfx有反函数1()yfx，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)ff，若方程()0fxx有解0x，则0_____x二、选择题15．设常数aR，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa，若ABR，则a的取值范围为（）(A)(,2)(B)(,2](C)(2,)(D)[2,)16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件17．在数列{}na中，21nna，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,ijijijaaaaa，（1,2,,7;1,2,,12ij）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,aaaaa；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,ddddd.若,mM分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst,则,mM满足（）.(A)0,0mM(B)0,0mM(C)0,0mM(D)0,0mM三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.D1C1B1A1DCBA320．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x），每小时可获得利润是3100(51)xx元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．（6分+8分）已知函数()2sin()fxx，其中常数0；（1）若()yfx在2[,]43上单调递增，求的取值范围；（2）令2，将函数()yfx的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()ygx的图像，区间[,]ab（,abR且ab）满足：()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]ab中，求ba的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12xCy，曲线2:||||1Cyx，P是平面上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．(1)在正确证明1C的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆2212xy内的点都不是“C1—C2型点”．23．（3分+6分+9分）给定常数0c，定义函数()2|4|||fxxcxc，数列123,,,aaa满足*1(),nnafanN.（1）若12ac，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac，；（3）是否存在1a，使得12,,,naaa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.4参考答案一、选择题1．13．2．2m．3．0xy．4．1arccos3C5．2a6．3log4x．7．152．8．1318．9．463．10．30||Dd．11．2sin()3xy．12．87a．13．2216．14．02x．15．B．16．B．17．A．18．D．19．因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故1111//,ABCDABCD，故ABC1D1为平行四边形，故11//BCAD，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得111(12)1323V而1ADC中，115,2ACDCAD，故132ADCS5所以，13123233Vhh，即直线BC1到平面D1AC的距离为23．20．(1)根据题意，33200(51)30005140xxxx又110x，可解得310x(2)设利润为y元，则4290031161100(51)910[3()]612yxxxx故6x时，max457500y元．21．(1)因为0，根据题意有34202432(2)()2sin(2)fxx，()2sin(2())12sin(2)163gxxx1()0sin(2)323gxxxk或7,12xkkZ，即()gx的零点相离间隔依次为3和23，故若()ygx在[,]ab上至少含有30个零点，则ba的最小值为2431415333．22．：（1）C1的左焦点为(3,0)F，过F的直线3x与C1交于2(3,)2，与C2交于(3,(31))，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为3x；（2）直线ykx与C2有交点，则(||1)||1||||1ykxkxyx，若方程组有解，则必须||1k；直线ykx与C2有交点，则2222(12)222ykxkxxy，若方程组有解，则必须212k故直线ykx至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆2212xy内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)ttt，则6:(1)()(1)0lytkxtkxytkt直线l与圆2212xy内部有交点，故2|1|221tktk化简得，221(1)(1)2ttkk。。。。。。。。。。。。①若直线l与曲线C1有交点，则2222211()2(1)(1)10212ykxkttkxktktxtktxy22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2ktktktkttktk化简得，22(1)2(1)tktk。。。。。②由①②得，222212(1)(1)(1)12kttkkk但此时，因为2210,[1(1)]1,(1)12ttkk，即①式不成立；当212k时，①式也不成立综上，直线l若与圆2212xy内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆2212xy内的点都不是“C1-C2型点”．23．：（1）因为0c，1(2)ac，故2111()2|4|||2afaacac，3122()2|4|||10afaacacc（2）要证明原命题，只需证明()fxxc对任意xR都成立，()2|4|||fxxcxcxcxc即只需证明2|4|||+xcxcxc若0xc，显然有2|4|||+=0xcxcxc成立；若0xc，则2|4|||+4xcxcxcxcxc显然成立综上，()fxxc恒成立，即对任意的*nN，1nnaac（3）由（2）知，若{}na为等差数列，则公差0dc，故n无限增大时，总有0na此时，1()2(4)()8nnnnnafaacacac7即8dc故21111()2|4|||8afaacacac，即1112|4|||8acacac，当10ac时，等式成立，且2n时，0na，此时{}na为等差数列，满足题意；若10ac，则11|4|48acac，此时，230,8,,(2)(8)naacanc也满足题意；综上，满足题意的1a的取值范围是[,){8}cc．