2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题四川卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}Axx，集合2{|40}Bxx，则AB（）（A）{2}（B）{2}（C）{2,2}（D）2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）yxDBAOC（A）A（B）B（C）C（D）D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2pxAxB，则（）（A）:,2pxAxB（B）:,2pxAxB（C）:,2pxAxB（D）:,2pxAxB5．函数()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如图所示，则,的值分别是（）2（A）2,3（B）2,6（C）4,6（D）4,36．抛物线24yx的焦点到双曲线2213yx的渐近线的距离是（）（A）12（B）32（C）1（D）37．函数231xxy的图象大致是（）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,ab，共可得到lglgab的不同值的个数是（）（A）9（B）10（C）18（D）209．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）（A）14（B）12（C）34（D）7810．设函数()xfxexa（aR，e为自然对数的底数）．若曲线sinyx上存在00(,)xy使得00(())ffyy，则a的取值范围是（）（A）[1,]e（B）1[,-11]e，（C）[1,1]e（D）1[-1,1]ee3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()xy的展开式中，含23xy的项的系数是_________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则_________．13．设sin2sin，(,)2，则tan2的值是_________．14．已知()fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，2()4fxxx，那么，不等式(2)5fx的解集是________．15．设12,,,nPPP为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到12,,,nPPP点的距离之和最小，则称点P为12,,,nPPP点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点,AB的中位点．则有下列命题：①若,,ABC三个点共线，C在线AB上，则C是,,ABC的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在等差数列{}na中，218aa，且4a为2a和3a的等比中项，求数列{}na的首项、公差及前n项和．17．(本小题满分12分)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且232coscossin()sincos()25ABBABBAC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iPi；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为(1,2,3)ii的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．4甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，12ABACAA，120BAC，1,DD分别是线段11,BCBC的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面1ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面11ADDA；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角1AAMN的余弦值．运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………210010516963535D1DCBA1B1C1AP20．(本小题满分13分)已知椭圆C：22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，且椭圆C经过点41(,)33P．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且222211||||||AQAMAN，求点Q的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx，其中a是实数．设11(,())Axfx，22(,())Bxfx为该函数图象上的两点，且12xx．（Ⅰ）指出函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直，且20x，求21xx的最小值；（Ⅲ）若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合，求a的取值范围．6参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.1.A2.B3.D4.D5.A6.B7.C8.C9.C10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分25分.11.1012.213.314.(7,3)15.①④三、解答题:共6小题,共75分.16.解：设该数列公差为d,前n项和为ns.由已知,可得21111228,38adadadad.所以114,30addda,解得14,0ad,或11,3ad,即数列na的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n项和4nsn或232nnns.………….12分17.解：由232coscossinsincos25ABBABBAC,得3cos1cossinsincos5ABBABBB,即3coscossinsin5ABBABB,则3cos5ABB,即3cos5A.…………..5分由3cos,05AA,得4sin5A,由正弦定理,有sinsinabAB,所以,sin2sin2bABa.由题知ab,则AB,故4B.根据余弦定理,有2223425255cc,解得1c或7c(舍去).故向量BA在BC方向上的投影为2cos2BAB.………….12分18.解：.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故112p；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故213p;当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故316p.……………3分当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：7比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.………7分（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3.0303128(0)3327pC1213124(1)339pC2123122(2)339pC3033121(3)3327pC故的分布列为所以842101231279927E即的数学期望为1.………12分19.解：如图,在平面ABC内,过点P做直线l//BC,因为l在平面1ABC外,BC在平面1ABC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l//平面1ABC.由已知,ABAC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.因为1AA平面ABC,所以1AA直线l.又因为1,ADAA在平面11ADDA内,且AD与1AA相交,所以直线平面11ADDA.…………………………………………………………………………….6分解法一:连接1AP,过A作1AEAP于E,过E作1EFAM于F,连接AF.由知,MN平面1AEA,所以平面1AEA平面1AMN.所以AE平面1AMN,则1AMAE.所以1AM平面AEF,则1AMAF.故AFE为二面角1AAMN的平面角(设为).输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1027210037621006972100乙10512100696210035321000123p82749291278设11AA,则由12ABACAA,120BAC,有60BAD,2,1ABAD.又P为AD的中点,所以M为AB的中点,且1,12APAM,在1RtAAP中,152AP;在1RtAAM中,12AM.从而,1115AAAPAEAP,1112AAAMAFAM,所以2sin5AEAF.所以22215cos1sin155.故二面角1AAMN的余弦值为155.………………12分解法二:设11AA.如图,过1A作1AE平行于11BC,以1A为坐标原点,分别以111,AEAD,1AA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点1A重合).则10,0,0A,0,0,1A.因为P为AD的中点,所以,MN分别为,ABAC的中点,故3131,,1,,,12222MN,所以131,,122AM,10,0,1AA,3,0,0NM.设平面1AAM的一个法向量为1111,,nxyz,则1111,,nAMnAA即11110,0,nAMnAA故有11111131,,,,10,22,,0,0,10,xyzxyz9从而1111310,220.xyzz取11x,则13y,所以11,3,0n.设平面1AMN的一个法向量为2222,,nxyz,则212,,nAMnNM即2120,0,nAMnNM故有22222231,,,,10,22,,3,0,00,xyzxyz从而2222310,2230.xyzx取22y,则21z,所以20,2,1n.设二面角1AAMN的平面角为,又为锐角,则12121,3,00,2,115cos525nnnn.故二面角1AAMN的余弦值为155.………………12分20．