2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题安徽卷高中数学练习试题

-1-2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。参考公式：如果事件A与B互斥，那么()()()PABPAPB如果事件A与B相互独立，那么()()()PABPAPB第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，_z是复数z的共轭复数，若|()0Ixfx+2=2zzi，则z=（A）1+i（B）1i（C）1+i（D）1-i【答案】A【解析】设2bi2a2)ib(a2bi)i-a(bi)+a(22zbi.z-a=z.bi,+a=z22zi则izbaa111222bba22所以选A（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）16（B）2524（C）34（D）1112【答案】D【解析】.1211,1211122366141210ss,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线-2-【答案】A【解析】B,C,D说法均不需证明，也无法证明，是公理；C选项可以推导证明，故是定理。所以选A（4）0a“是函数()=(-1)fxaxx在区间(0,+)内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当a=0时，，时，且上单调递增；当，在xaxxfxaxfyxxf)1()(00)0()(||)(.)0()(0所以a.)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在xfyxfy0a)0()(上单调递增，在相反，当xfy,.)0()(0a上单调递增的必要条件，在是xfy故前者是后者的充分必要条件。所以选C（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以D选项错。对C选项，男生方差为40，女生方差为30。所以C选项正确。所以选C（6）已知一元二次不等式()0fx的解集为1|-12xxx或，则(10)0xf的解集为（A）|-1lg2xxx或（B）|-1lg2xx（C）|-lg2xx（D）|-lg2xx【答案】D【解析】由题知，一元二次不等式2ln211-),21(-1,的解集为0)(xexx即所以选D。（7）在极坐标系中，圆=2cosp的垂直于极轴的两条切线方程分别为-3-（A）=0()cos=2R和（B）=()cos=22R和（C）=()cos=12R和（D）=0()cos=1R和【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标232.101或故左切线为，半径，r.2cos2:.2cos2cos和即切线方程为右切线满足所以选B（8）函数=()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数12,...,,nxxx使得1212()()()==,nnfxfxfxxxx则n的取值范围是（A）3,4（B）2,3,4（C）3,4,5（D）2,3【答案】B【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4.所以选B（9）在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点,AB满足2,OAOBOAOB则点集,1,,|POPOAOBR所表示的区域的面积是（A）22（B）23（C）42（D）43【答案】D【解析】考察三点共线向量知识:1,,,,其中是线外一点则三点共线若PCPBPAPCBA.32cos4cos||||OBOAOBOA.建立直角坐标系，设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OABPB344的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OABS所以选D（10）若函数3()=+b+fxxxc有极值点1x，2x，且11()=fxx，则关于x的方程-4-213(())+2()+=0fxfxb的不同实根个数是（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】A【解析】使用代值法。设cxxxxfxxxxxf623)(633)2)(1(3)('232.上单调递增，在令)2,()(,49)(2,10)('1121xfcxxfxxxf.上单调递增，上单调递减，在，上单调递增，在在)1()12()2,()(xf..3)()(0))(('21个根解得一个根，共解得二个根，由xxfxxfxff所以选A2013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。（11）若83axx的展开式中4x的系数为7，则实数a___21___。【答案】21【解析】通项217,34348)(338388388aaCrrxaCxaxCrrrrrrr所以21（12）设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc。若2bca，则3sin5sin,AB则角C__32___.【答案】32【解析】-5-3sin5sin,AB32212cos2,53222CabcbaCacbba所以32（13）已知直线ya交抛物线2yx于,AB两点。若该抛物线上存在点C，使得ABC为直角，则a的取值范围为___),1[_____。【答案】),1[【解析】BCACxxCmmBmmA则根据题意不妨),,(),,(),,(2220)()12(0)(),(),(4222422222222xxmxmmxmxmxmxmxmx),1[10)1(-222222xmxmxm）（.所以),1[a（14）如图，互不-相同的点12,,,nAAX和12,,,nBBB分别在角O的两条边上，所有nnAB相互平行，且所有梯形11nnnnABBA的面积均相等。设.nnOAa若121,2,aa则数列na的通项公式是_____*,23Nnnan____。【答案】*,23Nnnan【解析】2210011011)(aaSSSSABBASOBAnnnn的面积为，梯形的面积为设.41)(,32210aaSS.)(13232.)(3431)()1(2122122100nnnnnnaannaannaaSnSnSS种情况得由上面131)(13113231077441)()()()()(21121121243232221naannnaaaaaaaaaannnn*,231,1311Nnnaanann且（15）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是__①②③⑤___（写出-6-所有正确命题的编号）。①当102CQ时，S为四边形②当12CQ时，S为等腰梯形③当34CQ时，S与11CD的交点R满足1113CR④当314CQ时，S为六边形⑤当1CQ时，S的面积为62【答案】①②③⑤【解析】CQDTPQATPQATTDD22//1且，则相交于设截面与.对①，时当210.CQ,则.121DT所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.对②,1=DT,21.时当CQ重合与1,DT，截面S为四边形.,11QDAPAPQD所以截面S为等腰梯形.所以为真.对③,,43.时当CQ.31.21,41231111RCTDQCDT利用三角形相似解得所以为真.对④,2DT23,143.时当CQ.截面S与线段1111CD,DA相交，所以四边形S为五边形.所以为假.对⑤,AGAPCGDASCCQ111111,Q1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当.对角线长度分别为.2632的面积为，和S所以为真.综上，选①②③⑤三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16）（本小题满分12分）已知函数()4cossin(0)4fxxx的最小正周期为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论()fx在区间0,2上的单调性。【答案】（Ⅰ）1-7-（Ⅱ）.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在xfy【解析】（Ⅰ）2)42sin(2)12cos2(sin2)cos(sincos22xxxxxx122.所以1,2)42sin(2)(xxf（Ⅱ）.]858[]2,85[],8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在xfy；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[xxxx所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在xfy（17）（本小题满分12分）设函数22()(1)fxaxax，其中0a，区间|()0Ixfx（Ⅰ）求的长度（注：区间(,)的长度定义为）；（Ⅱ）给定常数(0,1)k，当时，求l长度的最小值。【答案】（Ⅰ）21aa.（Ⅱ）21【解析】（Ⅰ）)1,0(0])1([)(22aaxxaaxxf.所以区间长度为21aa.（Ⅱ）若211111111-1),1,0(2aaaalkakk时，且kakala1-121,1满足，取最小值时且当.21的最小值为l.（18）（本小题满分12分）设椭圆2222:11xyEaa的焦点在x轴上（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设12,FF分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线2FP交y轴-8-与点Q，并且11FPFQ，证明：当a变化时，点p在某定直线上。【答案】（Ⅰ）1385822xx.（Ⅱ）01xy【解析】（Ⅰ）13858851,12,122222222xxacaacaa，椭圆方程为：.（Ⅱ）),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF（则设.由)1,0(),1,0()1,0(012yxaa.0)()(,//).,(),,(112211mycxcycxc