2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题广东卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式112213VSSSSh,其中12,SS分别是台体的上、下底面积,h表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合2|20,MxxxxR,2|20,NxxxxR,则MN()A.0B．0,2C．2,0D．2,0,2【解析】D；易得2,0M,0,2N,所以MN2,0,2,故选D．2．定义域为R的四个函数3yx,2xy,21yx,2sinyx中,奇函数的个数是()A.4B．3C．2D．1【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3yx与2sinyx,故选C．3．若复数z满足24izi,则在复平面内,z对应的点的坐标是()A.2,4B．2,4C．4,2D．4,2【解析】C；2442izii对应的点的坐标是4,2,故选C．4．已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望EX()A.32B．2C．52D．3【解析】A；33115312351010102EX,故选A．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4B．143C．163D．6【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故22221141122233V,,故选B．6．设,mn是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB．若//,m,n,则//mnC．若mn,m,n,则D．若m,//mn,//n,则【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．12211正视图俯视图侧视图第5题图2是否输入1,1is输出s结束开始in第11题图n1sis1ii7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是()A.22145xyB．22145xyC．22125xyD．22125xy【解析】B；依题意3c,32e,所以2a,从而24a,2225bca,故选B．8．设整数4n,集合1,2,3,,Xn.令集合,,|,,,,,SxyzxyzXxyzyzxzxy且三条件恰有一个成立若,,xyz和,,zwx都在S中,则下列选项正确的是()A.,,yzwS,,,xywSB．,,yzwS,,,xywSC．,,yzwS,,,xywSD．,,yzwS,,,xywS【解析】B；特殊值法,不妨令2,3,4xyz,1w,则,,3,4,1yzwS,,,2,3,1xywS,故选B．如果利用直接法:因为,,xyzS，,,zwxS，所以xyz…①，yzx…②，zxy…③三个式子中恰有一个成立；zwx…④，wxz…⑤，xzw…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时wxyz，于是,,yzwS，,,xywS；第二种：①⑥成立，此时xyzw，于是,,yzwS，,,xywS；第三种：②④成立，此时yzwx，于是,,yzwS，,,xywS；第四种：③④成立，此时zwxy，于是,,yzwS，,,xywS.综合上述四种情况，可得,,yzwS，,,xywS.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式220xx的解集为___________．【解析】2,1；易得不等式220xx的解集为2,1.10．若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于x轴,则k______.【解析】1；求导得1ykx,依题意10k,所以1k.11．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______.【解析】7；第一次循环后:1,2si；第二次循环后:2,3si；第三次循环后:4,4si；第四次循环后:7,5si；故输出7.12.在等差数列na中,已知3810aa,则573aa_____.3xy441O.AEDCBO第15题图【解析】20；依题意12910ad,所以57111334641820aaadadad.或:57383220aaaa13.给定区域D:4440xyxyx,令点集000000{,|,,,TxyDxyZxy是zxy在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定______条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中zxy取得最小值时的整点为0,1,取得最大值时的整点为0,4,1,3,2,2,3,1及4,0共5个整点.故可确定516条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(t为参数),C在点1,1处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________.【解析】sin24；曲线C的普通方程为222xy,其在点1,1处的切线l的方程为2xy,对应的极坐标方程为cossin2,即sin24.15.(几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若6AB,2ED,则BC_________.【解析】23；依题意易知ABCCDE,所以ABBCCDDE,又BCCD,所以212BCABDE,从而23BC.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos12fxx,xR.(Ⅰ)求6f的值；(Ⅱ)若3cos5,3,22,求23f．【解析】(Ⅰ)2cos2cos2cos1661244f；(Ⅱ)22cos22cos2cos2sin233124f4179201530第17题图CDOBEAH因为3cos5,3,22,所以4sin5,所以24sin22sincos25,227cos2cossin25所以23fcos2sin272417252525.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ)样本均值为1719202125301322266；(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163,故推断该车间12名工人中有11243名优秀工人.(Ⅲ)设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则PA1148212CCC1633.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A,6BC,,DE分别是,ACAB上的点,2CDBE,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥ABCDE,其中3AO.(Ⅰ)证明:AO平面BCDE；(Ⅱ)求二面角ACDB的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ)在图1中,易得3,32,22OCACAD.COBDEACDOBEA图1图25CDOxEA向量法图yzB连结,ODOE,在OCD中,由余弦定理可得222cos455ODOCCDOCCD由翻折不变性可知22AD,所以222AOODAD,所以AOOD,理可证AOOE,又ODOEO,所以AO平面BCDE.(Ⅱ)传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结AH,因为AO平面BCDE,所以AHCD,所以AHO为二面角ACDB的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故322OH,从而22302AHOHOA所以15cos5OHAHOAH,所以二面角ACDB的平面角的余弦值为155.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则0,0,3A,0,3,0C,1,2,0D所以0,3,3CA,1,2,3DA设,,nxyz为平面ACD的法向量,则00nCAnDA,即330230yzxyz,解得3yxzx,令1x,得1,1,3n由(Ⅰ)知,0,0,3OA为平面CDB的一个法向量,所以315cos,535nOAnOAnOA,即二面角ACDB的平面角的余弦值为155.19．（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.(Ⅰ)求2a的值；(Ⅱ)求数列na的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211174naaa.【解析】(Ⅰ)依题意,12122133Sa,又111Sa,所以24a；(Ⅱ)当2n时,32112233nnSnannn,6321122111133nnSnannn两式相减得2112213312133nnnananannn整理得111nnnanann,即111nnaann,又21121aa故数列nan是首项为111a,公差为1的等差数列,所以111nannn,所以2nan.(Ⅲ)当1n时,11714a；当2n时,12111571444aa；当3n时,21111111nannnnn,此时222121111111111111111434423341naaannn11171714244nn综上,对一切正整数n,有1211174naaa.20．（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc到直线l:20xy的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PAPB,其中,AB为切点.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)当点00,Pxy为直线l上的定点时,求直线AB的方程；(Ⅲ)当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.【解析】(Ⅰ)依题意,设抛物线C的方程为24xcy,由023222c结合0c,解得1c.所以抛物线C的方程为24xy.(Ⅱ)抛物线C的方程为24xy,即214yx,求导得12yx设11,Axy,22,Bxy(其中221212,44xxyy),则切线,PAPB的斜率分别为112x,21