2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题江苏卷高中数学练习试题

1YN输出n开始1a2n，1nn32aa20a结束（第5题）2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.函数)42sin(3xy的最小正周期为▲.解析：2==2T2.设2)2(iz(i为虚数单位)，则复数z的模为▲.解析：2234,34=5ZiZ3.双曲线191622yx的两条渐近线的方程为▲.解析：3y=4x4.集合1,0,1共有▲个子集.解析：328（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲解析：经过了两次循环，n值变为326.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲.解析：易知均值都是90，乙方差较小，22222221118990909091908890929025niisxxn7.现有某类病毒记作nmYX，其中正整数)9,7(,nmnm可以任意选取，则nm,都取到奇数的概率为▲.解析：m可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个n可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963种可能符合题意的m可以取1,3,5,7共4个符合题意的n可以取1,3,5,7,9共5个所以总共有4520种可能符合题意所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED,,分别是1,,AAACAB的中点，设三棱锥ADEF的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV▲.解析：112211111334224ADEABCVShShV所以121:24VVABC1ADEF1B1C39.抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是▲.解析：易知切线方程为：21yx所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为0,00.5,00,1ABC易知过C点时有最小值2，过B点时有最大值0.510.设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，ABAD21,BCBE32,若ACABDE21(21,为实数)，则21的值为▲.解析：易知121212232363DEABBCABACABABAC所以121211.已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为▲.解析：因为)(xf是定义在R上的奇函数，所以易知0x时，2()4fxxx解不等式得到xxf)(的解集用区间表示为5,05,12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d.若126dd，则椭圆的离心率为▲.解析：由题意知2212,bcabddcacc所以有26bbcca两边平方得到2246abc，即42246aacc两边同除以4a得到2416ee，解得213e，即33e413.平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数)0(1xxy图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为▲.解析：由题意设0001,,0Pxxx则有222222200000200000111112++2=+-2+22PAxaaxaxaxaxaxxxxx令001t2xtx则222=(t)=t2222PAfatat对称轴ta1.2a时，22min2(2)2422428PAfaaaa1a，3a（舍去）2.2a时，22min2()228PAfaaa10a，10a（舍去）综上1a或10a514.在正项等比数列na中，215a，376aa.则满足nnaaaaaaaa......321321的最大正整数n的值为▲.解析：2252552667123123115521155223.....1,.222222011521312913236002292212nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaqaqqaannqnqnqanN112,nnN又12n时符合题意，所以n的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）已知cossina，，cossinb，，0.(1)若2ab，求证：ab；(2)设01c,，若abc，求，的值.解：(1)cos,sin,cos,sin,0ab2ab22ab2222abab61122ab0abab(2)0,1,coscos,sinsin0,1coscos0sinsin1cabc①②22+①②得：2+2cos11cos20023又coscos05,6616.（本小题满分14分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC,ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E,G分别是侧棱SA,SC的中点.求证：(1)平面EFG//平面ABC;(2)BCSA.解：(1),EG分别是侧棱,SASC的中点EGAC∥AC在平面ABC中，EG在平面外EG∥平面ABC,ASABAFSB⊥F为SB中点7EFAB∥AB在平面ABC中，EF在平面外EF∥平面ABCEF与EG相交于E,EFEG在平面EFG中平面EFG//平面ABC(2)平面SAB⊥平面SBCSB为交线AF在SAB中，AFSB⊥AF⊥平面SBCAFBC⊥BCAB⊥AF与AB相交于A,AFAB在平面SAB中BC⊥平面SABBCSA⊥17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点03A,，直线24lyx：.设圆的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：（1）241yxyx①②①与②联立得到圆心坐标3,2C圆方程为22321xy切线斜率不存在时，不合题意设切线方程为3ykx8232311kk解得0k或34k切线方程为3y或334yx（2）设,24Caa则圆方程为22241xaya设00(,)Mxy由题意2200241xaya2MAMO22220000344xyxy即220014xyM存在圆22241xaya与圆2214xy有交点即两圆相交或相切2222121d即221024(1)9aa1205a18.（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，12cos13A，3cos5C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？9解：(1)123cos,cos1350,0,054sin,sin135ACABCAC+=ABC5312463sin=sin+=sincos+cossin=+=13513565BACACAC==sinsinsinACABBCBCAsin465==1260=1040msin563CABACB(2)sin==500sinABCACB设乙出发t8t分钟后，甲到了D处，乙到了E处则有=50t+100AD130AEt根据余弦定理2222cosDEAEADAEADA即2274001400010000DEtt当14000352740037t时，2DE有最小值2507437DE(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙由题意1260126==min505t甲1040500500t=2++1+=11+min130VV乙乙乙12650031135V乙解不等式得12506254314V乙19.（本小题满分16分）10设na是首项为a，公差为d的等差数列0d，nS是其前n项和.记2nnnSbnc，Nn*，其中c为实数.(1)若0c，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2NnkkSnSk,n*；(2)若nb是等差数列，证明：0c.解：（1）10naandd22nnnSnad0c时，nnSbn112244122342SbaSdbaSdba124,,bbb成等比2142bbb222222222322202nnkknkkddaaadadddaSnaSnkanSnkaSnS（2）由已知23222222nnnSnandndbncncnb是等差数列设nbknb（k,b为常数）11有32222220kdnbdancknbc对任意nN恒成立202202020kdbdackbc0d00kc此时222dkadb命题得证20.（本小题满分16分）设函数lnfxxax，xgxeax，其中a为实数.(1)若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，求a的范围；(2)若gx在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证明你的结论.解：（1）'1()fxxa'()xgxea由题意：'()0fx对1,x恒成立即1ax对1,x恒成立1agx在1,上有最小值0a时，'()0gx恒成立，()gx在1,无最值0a时，由题意ln