2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题江西卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第一卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M={1,2，zi}，i，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i2．函数y=xln(1-x)的定义域为A．（0,1）B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3．等比数列x，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A．-24B.0C.12D.244．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.015．(x2-32x)5展开式中的常数项为A.80B.-80C.40D.-406．若22221231111,,,xSxdxSdxSedxx则123SSS的大小关系为A.123SSSB.213SSSC.231SSSD.321SSS7．阅读如下程序框图，如果输出5i，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2SiB.2*1SiC.2*SiD.2*4Si8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为,mn，那么mnA.8B.9C.10D.119.过点(2,0)引直线l与曲线21yx相交于A,B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于A.yEBBCCD33B.33C.33D.3210.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，12,ll之间l//1l,l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG的长为(0)xx，yEBBCCD，若l从1l平行移动到2l，则函数()yfx的图像大致是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.函数2sin223sinyxx的最小正周期为T为。12.设1e，2e为单位向量。且1e，2e的夹角为3，若123aee，12be，则向量a在b方向上的射影为13．设函数()fx在(0,)内可导，且()xxfexe，则(1)xf14.抛物线22(0)xpyp的焦点为F，其准线与双曲线22133xy相交于,AB两点，若ABF为等边三角形，则P三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15．（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为2xtyt（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式211x的解集为四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.（1）求角B的大小；若a+c=1，求b的取值范围17.（本小题满分12分）正项数列{an}的前项和{an}满足：222(1)()0nnsnnsnn（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令221(2)nnbna，数列{bn}的前n项和为nT。证明：对于任意的*nN，都有564nT318.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为：以O为起点，再从12345678,,,,,,,,AAAAAAAA(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若0X就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望。19（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，PA,ABCDEBD平面为的中点，GPD为的中点，3,12DABDCBEAEBABPA，，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：ADCFG平面；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.420.(本小题满分13分)如图，椭圆2222+=1(0)xyCabab：经过点3(1,),2P离心率1=2e，直线l的方程为=4x.（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记,,PAPBPM的斜率分别为123,,.kkk问：是否存在常数，使得123+=.kkk？若存在求的值；若不存在，说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数1()=(1-2-)2fxax，a为常数且0a.(1)证明：函数()fx的图像关于直线1=2x对称；(2)若0x满足00(())=ffxx，但00()fxx，则称0x为函数()fx的二阶周期点，如果()fx有两个二阶周期点12,,xx试确定a的取值范围；(3)对于（2）中的12,xx和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.52013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.C2.D3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.B10.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.12.5213.214.6三、选做题：本大题5分。15.（1）2cossin0（2）0,4四、解答题：本大题共6小题，共75分。16.（本小题满分12分）解：（1）由已知得cos()coscos3sincos0ABABAB即有sinsin3sincos0ABAB因为sin0A，所以sin3cos0BB，又cos0B，所以tan3B，又0B，所以3B。（2）由余弦定理，有2222cosbacacB。因为11,cos2acB，有22113()24ba。又01a，于是有2114b，即有112b。17.（本小题满分12分）（1）解：由222(1)()0nnSnnSnn，得2()(1)0nnSnnS。由于na是正项数列，所以20,nnSSnn。于是112,2aSn时，221(1)(1)2nnnaSSnnnnn。综上，数列na的通项2nan。（2）证明：由于2212,(2)nnnnanbna。则222211114(2)16(2)nnbnnnn。222222222111111111111632435(1)(1)(2)nTnnnn…222211111151(1)162(1)(2)16264nn。18.（本小题满分12分）解：（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2828C种，0时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P。（2）两向量数量积的所有可能取值为2,1,0,1,2时，有两种情形；1时，有8种情形；1时，有10种情形。所以的分布列为：21016P114514272715223(2)+(1)0114147714E。19.（本大题满分12分）解：（1）在ABD中，因为E是BD的中点，所以1EAEBEDAB,故,23BADABEAEB，因为DABDCB,所以EABECB,从而有FEDFEA，故,EFADAFFD,又因为,PGGD所以FG∥PA。又PA平面ABCD，所以,GFAD故AD平面CFG。（3）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则33(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(0,3,0)22ABCD,（4）3(0,0,)2P，故1333333(0),(,),(,,0)2222222BCCPCD，，，设平面BCP的法向量111(1,,)nyz，则111130223330222yyz，解得113323yz，即132(1,,)33n。设平面DCP的法向量222(1,,)nyz，则222330223330222yyz，解得2232yz，7即2(1,3,2)n。从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为1212423cos41689nnnn。20.（本大题满分13分）解：（1）由3(1,)2P在椭圆上得，221914ab①依题设知2ac，则223bc②②代入①解得2221,4,3cab。故椭圆C的方程为22143xy。（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为(1)ykx③代入椭圆方程223412xy并整理，得2222(43)84(3)0kxkxk，设1122(,),(,)AxyBxy，则有2212122284(3),4343kkxxxxkk④在方程③中令4x得，M的坐标为(4,3)k。从而121231233331222,,11412yykkkkkxx。注意到,,AFB共线，则有AFBFkkk，即有121211yykxx。所以1212121212123331122()1111212yyyykkxxxxxx1212122322()1xxkxxxx⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343kkkkkkkkkk，又312kk，所以1232kkk。故存在常数2符合题意。方法二：设000(,)(1)Bxyx，则直线FB的方程为：00(1)1yyxx，令4x，求得003(4,)1yMx，从而直线PM的斜率为0030212(1)yxkx，8联立0022(1)1143yyxxxy，得0000583(,)2525xyAxx，则直线PA的斜率为：00102252(1)yxkx，直线PB的斜率为：020232(1)ykx，所以00000123000225232122(1)2(1)1yxyyxkkkxxx，故存在常数2符合题意。21.（本大题满分14分）（1）证明：因为11()(12),()(12)22fxaxfxax，有11()()22fxfx，所以函数()fx的图像关于直线12x对称。（2）解：当102a时，有224,(())4(1),axffxax1,21.2xx所以(())ffxx只有一个解0x，又(0)0f，故0不是二阶周期点。当12a时，有,(())1,xffxx1,21.2xx所以(())ffxx有解集1|2xx，又当12x时，()fxx，故1|2xx中的所有点都不是二阶周期点。当12a时，有222221,44,11,24,42(())1412(12)4,,2444,41.4xaaxxaaxaffxaaaaxxaaaxaxa所以(())ffxx有四个解2222240,,,141214aaaaaa，又22(0)0,()1212aaffaa，22222