2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题湖南卷高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3.在锐角中ABC，角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于A．12B．6C．4D．34.若变量,xy满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是A．5-2B．0C．53D．525.函数2lnfxx的图像与函数245gxxx的图像的交点个数为A．3B．2C．1D．06.已知,ab是单位向量，0ab.若向量c满足1,cabc则的取值范围是A．2-1,2+1，B．2-1,2+2，C．1,2+1，D．1,2+2，7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A．1B．2C．2-12D．2+128.在等腰三角形ABC中，=4ABAC，点P是边AB上异于,AB的一点，光线从点P出发，经,BCCA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等2A．2B．1C．83D．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy中，若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay为参数过椭圆()为参数的右顶点，则常数a的值为.10.已知222,,,236,49abcabcabc则的最小值为12.11.如图2，在半径为7的O中,弦,ABCD相交于点,2PPAPB，1PD，则圆心O到弦CD的距离为.必做题（12-16题）12.若209,TxdxT则常数的值为.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的的值为9.14．设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若216,PFPFa且312PFF的最小内角为30，则C的离心率为___。15．设nS为数列na的前n项和，1(1),,2nnnnSanN则（1）3a_____；（2）12100SSS___________。16．设函数(),0,0.xxxfxabccacb其中（1）记集合(,,),,Mabcabca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,,)abcM所对应的()fx的零点的取值集合为____。（2）若,,abcABC是的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①,1,0;xfx②,,,xxxxRxabc使不能构成一个三角形的三条边长；③若1,2,0.ABCxfx为钝角三角形，则使三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos().()2sin632xfxxxgx。（I）若是第一象限角，且33()5f。求()g的值；（II）求使()()fxgx成立的x的取值集合。18．（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。419．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱1111//ABCDABCDADBC中，，90,,1BADACBDBC，13ADAA。（I）证明：1ACBD；（II）求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径1231MMMMNMNN与路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点(3,20),(10,0),(14,0)ABC处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)Expyp的焦点F作斜率分别为12,kk的两条不同的直线12,ll，且122kk，1lE与相交于点A，B，2lE与相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。（I）若120,0kk，证明；22FMFNP；5（II）若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程。22．（本小题满分13分）已知0a，函数()2xafxxa。（I）记()0,4fxa在区间上的最大值为g(),求ag()的表达式；（II）是否存在a，使函数()yfx在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。6参考答案一、选择题1．B2．D3．D4．C5．B6．A7．C8．D9．310．1211．2312．313．914．315．116；10011(1)3216．（1）]10(，（2）①②③17．解：（I）533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf.51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且（II）21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx],322,2[]652,62[618．解：(Ⅰ)由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率923128P（Ⅱ）三角形共有15个格点。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。154)51(YP所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。154)48(YP所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0，1,),(0，2),(0，73,)。156)45(YP所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1),(1,2),(2,1)。153)42(YP所以如下表所示：46156901512627019210215342156451544815251)(YE46)(YE.19．解：(Ⅰ)ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,,，面。面且又.(证毕)（Ⅱ）。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,////ACDADACDCBADBCCB轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABABDACyBDyACyCyBDDA),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设).3,0,3(),0,3,1(.30,003012ADACyyyBDAC），，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），，（），，（的一个法向量平面72111夹角的正弦值为与平面所以ACDBD。20．解：.0),,(yyxP且设点(Ⅰ)dLAP路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20-y|+|3-x|d垂直距离，即等于水平距离，其中.,0Rxy（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d=水平距离之和的最小值h+垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v=20+1=21；时显然当]14,10[x，水平距离之和h=x–(-10)+14–x+|x-3|24,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.X1234Y51484542频数2463概率P1521541561538所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.21．解：(Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211yxNyxMyxDyxCyxByxApF02,221211pxpkxEpxkyl：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121pkpkFMppkypkxxxpxxpkxx),(2,2,222223422134pkpkFNppkypkxxx同理.)1(2121222221221kkkkppkkpkkFNFM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0ppkkkkpFNFMkkkkkkkkkk所以，22pFNFM成立.(证毕)（Ⅱ）,)]2(2[21)]2()2[(21,212121121ppkppkpypyprrrNM的半径分别为、设圆,2同理,221211ppkrppkr.,21rrNM的半径分别为、设圆则21212212)()(ryyxxNM的方程分别为、，的方程为：，直线lryyxx22234234)()(0-)(2)(2222123421223421212341234rryyxxyyyxxx.0))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212rrrryyyyxxxxykkpxkkp02))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212kkkkpkkkkpkkpykkpxkkp0202)(1)(222212221yxkkpkkppyx55758751)41()41(2|512||52|),(2121