2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题福建卷高中数学练习试题

-1-2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题1．已知复数z的共轭复数12zi（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】z的共轭复数12zi，则12zi，对应点的坐标为(1,2)，故答案为D．2．已知集合1,Aa,1,2,3B,则“3a”是“AB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3,aAB2ABa，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214xy的顶点到其渐近线的距离等于（）A．25B．45C．255D．455【答案】C【解析】2214xy的顶点坐标为(2,0)，渐近线为2204xy，即20xy．带入点到直线距离公式0022AxBxCdAB=2222551(2)．4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．120-2-【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足,1,0,1,2ab，且关于x的方程220axxb有实数解的有序数对(,)ab的个数为（）A．14B．13C．12D．10【答案】B【解析】方程220axxb有实数解，分析讨论①当0a时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时b可以取4个值．故有4种有序数对②当0a时，需要440ab，即1ab．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)ab共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k，则该算法的功能是（）A．计算数列12n的前10项和B．计算数列12n的前9项和C．计算数列21n的前10项和D．计算数列21n的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2Si，10i第二条：3,3,10Sii第三条：7,4,10Sii-3-…．．第九循环：921,10,10Sii．第十循环：1021,11,10Sii，输出S．根据选项，101(12)12S，故为数列12n的前10项和．故答案A．7．在四边形ABCD中，(1,2)AC，(4,2)BD，则四边形的面积为（）A．5B．25C．5D．10【答案】C【解析】由题意，容易得到ACBD．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S=11(****)(*)22AODOAOBOCODOCOBOACBD．容易算出5,25ACBD，则算出S=5．故答案C8．设函数()fx的定义域为R，00(0)xx是()fx的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．0,()()xRfxfxB．0x是()fx的极小值点C．0x是()fx的极小值点D．0x是()fx的极小值点【答案】D【解析】A．0,()()xRfxfx，错误．00(0)xx是()fx的极大值点，并不是最大值点．B．0x是()fx的极小值点．错误．()fx相当于()fx关于y轴的对称图像，故0x应是()fx的极大值点C．0x是()fx的极小值点．错误．()fx相当于()fx关于x轴的对称图像，故0x应是()fx的极小值点．跟0x没有关系．D．0x是()fx的极小值点．正确．()fx相当于()fx先关于y轴的对象，再关于x轴的对称图像．故D正确9．已知等比数列{}na的公比为q，记(1)1(1)2(1)...,nmnmnmnmbaaa*(1)1(1)2(1)...(,),nmnmnmnmcaaamnN则以下结论一定正确的是（）A．数列{}nb为等差数列，公差为mqB．数列{}nb为等比数列，公比为2mqC．数列{}nc为等比数列，公比为2mqD．数列{}nc为等比数列，公比为mmq-4-【答案】C【解析】等比数列{}na的公比为q,同理可得2222222,mmmmmmmaaaaaa112...mcaaa,212...,mmmmcaaa321222...,mmmmcaaa2213ccc数列{}nc为等比数列，2221212211212............mmmmmmmmmmaaaaaaqcqqcaaaaaa故选C10．设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数()yfx满足：(){()|};()iTfxxSii对任意12,,xxS当12xx时，恒有12()()fxfx，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）A．*,ANBNB．{|13},{|8010}AxxBxxx或C．{|01},AxxBRD．,AZBQ【答案】D【解析】根据题意可知，令()1fxx，则A选项正确；令55(13)()228(1)xxfxx，则B选项正确；令1()tan()2fxx，则C选项正确；故答案为D．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“310a”发生的概率为________【答案】23【解析】13103aaa产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a112313p12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12-5-【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，223234122RSR球表13．如图ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，22sin,32,33BACABAD则BD的长为_______________【答案】3【解析】22sinsin()cos23BACBADBAD根据余弦定理可得222cos2ABADBDBADABAD22222(32)3332323BDBD14．椭圆2222:1(0)xyabab的左．右焦点分别为12,FF，焦距为2c，若直线3()yxc与椭圆的一个交点M满足12212MFFMFF，则该椭圆的离心率等于__________【答案】31【解析】由直线方程3()yxc直线与x轴的夹角12233MFF或，且过点1-F（c,0）12212MFFMFF122123MFFMFF即12FMFM12RTFMF在中，12122,,3FFcFMcFMc由椭圆的第一定义可得2233113cacca15．当,1xRx时，有如下表达式:211.......1nxxxx两边同时积分得：111112222220000011.......1ndxxdxxdxxdxdxx-6-从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln2.2223212nn请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()...()_____2223212nnnnnnnCCCC【答案】113[()1]12nn【解析】由01221......(1)nnnnnnnCCxCxCxx两边同时积分得：11111222222000001......(1).nnnnnnCdxCxdxCxdxCxdxxdx从而得到如下等式：0122311111111113()()...()[()1]222321212nnnnnnnnnCCCC三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,XY，求3X的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3X”的事件为A，则A事件的对立事件为“5X”，224(5)3515PX，11()1(5)15PAPX这两人的累计得分3X的概率为1115．（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)EX，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)EX-7-由已知：12~(2,)3XB，22~(2,)5XB124()233EX，224()255EX118(2)2()3EXEX，2212(3)3()5EXEX12(2)(3)EXEX他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln()fxxaxaR（1）当2a时，求曲线()yfx在点(1,(1))Af处的切线方程；（2）求函数()fx的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．解：函数()fx的定义域为(0,)，()1afxx．（Ⅰ）当2a时，()2lnfxxx，2()1(0)fxxx，(1)1,(1)1ff，()yfx在点(1,(1))Af处的切线方程为1(1)yx，即20xy．（Ⅱ）由()1,0axafxxxx可知：①当0a时，()0fx，函数()fx为(0,)上的增函数，函数()fx无极值；②当0a时，由()0fx，解得xa；(0,)xa时，()0fx，(,)xa时，()0fx()fx在xa处取得极小值，且极小值为()lnfaaaa，无极大值．综上：当0a时，函数()fx无极值-8-当0a时，函数()fx在xa处取得极小值lnaaa，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为129,,....AAA和129,,....BBB，连结iOB，过iA做x轴的垂线与iOB交于点*(,19)iPiNi．（1）求证：点*(,19)iPiNi都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；（2）过点C做直线l与抛物线E交于不同的两点,MN，若OCM与OCN的面积比为4:1，求直线l的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推