2014年北京高考预测文科数学试题及答案

第1页共15页2014高考数学预测卷(文科)第2页共15页2014年北京市高考模拟试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A=2|xx,B=034|2xxx，则AB等于（）（A）12|xx（B）21|xx（C）32|xx（D）32|xx2．设0.5323,log2,cos3abc，则()（A）cba（B）cab（C）abc（D）bca3.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()ln(1)fxx，则函数()fx的大致图像为()（A）（B）（C）（D）4.程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（）（A）1（B）1i（C）0（D）i5.命题“0xR，20log0x”的否定为（）（A）0xR，20log0x（B）0xR，20log0x（C）xR，2log0x（D）xR，2log0x1O1xy1xyO１OxyOxy开始结束输入aS=0，n=1输出Sn=n+1S=S+ann≤2011否是第3页共15页6.记集合22{(,)4}Axyxy和集合{(,)|20,0,0}Bxyxyxy表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为()（A）2（B）（C）4（D）7.在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）（A）直角三角形（B）等腰三角（C）等腰直角三角形（D）等腰三角形或直角三角形8.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）（A）2（B）22（C）32（D）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．抛物线24yx上一点M与该抛物线的焦点F的距离||4MF，则点M的横坐标x=.10．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s，2s，3,s则它们的大小关系为．（用“”连接）11．已知等差数列{}na的前n项和为257,1,10,nSaSS若则=．12．已知函数221,0()2,0xxfxxxx，若2(2)()fafa，则实数a的取值范围是．O元频率组距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006甲100015002000250030003500第4页共15页13．设不等式组kkxyyx4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S，则当1k时，1kkS的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线1ykx与曲线11||||yxxxx有四个公共点，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数21()sin3sincos2fxxxx．（Ⅰ）求()12f的值；（Ⅱ）若[0,]2x，求函数()yfx的最小值及取得最小值时的x值．第5页共15页16．（本小题满分13分）某学校餐厅新推出ABCD、、、四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%010203040506070份种类ABCD第6页共15页17．（本小题满分14分）如图，菱形ABCD的边长为6，60BAD,ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD,点M是棱BC的中点，32DM.（Ⅰ）求证：//OM平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥MABD的体积.ABABCCDMODO第7页共15页18．（本小题满分13分）已知()ln4fxaxx，3()gxxx（1）求()fx在1x处的切线方程；（2）若20[,]xee使得00()()fxgx成立，求实数a的取值范围，第8页共15页19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyGabab的左、右焦点，椭圆G与抛物线28yx有一个公共的焦点，且过点(2,2).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆G相交于A、B两点,若OAOB(O为坐标原点),试判断直线l与圆2283xy的位置关系，并证明你的结论.第9页共15页20．（本小题满分13分）已知数列{}na满足*1,()aaaN，*1(0,1,)nnSpappnN（1）求数列{}na的通项公式；（2）对任意*kN，若将123,,kkkaaa按从小到大的顺顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为kd.i.求p的值以及数列{}kd的通项公式；ii.记数列{}kd的前k项和为kS，问是否存在正整数a，使得30kS恒成立，若存在求出a的最大值；若不存在说明理由.第10页共15页参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．A3．C4．D5．D6．A7．D8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．310．123sss11．2112．12a13．3214．11{,0,}88三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵21()sin3sincos2fxxxx31sin2cos222xxsin(2)6x，………………5分∴3()sin(2)sin()1212632f．………7分（Ⅱ）∵02x∴02x．∴52666x．…………9分∴1sin(2)126x，即1()12fx．………11分∴min1()2fx此时266x∴0x．………12分∴当0x时，min1()2fx．………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，……………1分其中选A款套餐的学生为40人，……………2分由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了42004020份.……………4分设事件M=“同学甲被选中进行问卷调查”，……………5分则.10404)(MP.……………6分答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.第11页共15页(II)由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，0，2个.……………7分记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d.……………8分设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”…………9分从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件，………11分则65)(NP.………13分答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是65.17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，//OMAB.……………2分因为OM平面ABD,AB平面ABD，所以//OM平面ABD.……………4分（Ⅱ）证明：由题意，3OMOD,因为32DM,所以90DOM，ODOM.……………6分又因为菱形ABCD，所以ODAC.…………7分因为OMACO,所以OD平面ABC，……………8分因为OD平面MDO，所以平面ABC平面MDO.……………9分（Ⅲ）解：三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积.……………10分由（Ⅱ）知，OD平面ABC，所以3OD为三棱锥DABM的高.……………12分ABM的面积为11393sin120632222BABM，……………13分所求体积等于19332ABMSOD.……………14分ABCMOD第12页共15页18.（本小题满分13分）（1）4)(xaxf,…………………（1分）4)1(af,…………………（2分）故切线方程为axay)4(；…………………（4分）（2）34ln)(2xxxaxh，xaxxxxaxh4242)(2，…………………（6分）①若0816a，即2a，则0)(xh，则)(xh在,1上单调递增，又0)1(h，不符舍去．…………………（8分）②若0,则2a,，令0)(xh得2241ax,令0)(xh得22410ax,则)(xh在2241,0a上单调递减,在,2241a单调递增,…………………（10分）又0)1(h，则必有0)(eh，…………………（11分）即0342eea，342eea．…………………（12分）19．（本小题满分14分）解(Ⅰ)由已知得,由题意得2c，又22421ab+，………………………2分消去a可得，42280bb，解得24b或22b（舍去），则28a，所以椭圆C的方程为22184yx．……………………………………………………5分(Ⅱ)结论：直线l与圆2283xy相切.证明:由题意可知,直线l不过坐标原点,设,AB的坐标分别为112212(,),(,),()xyxyyy第13页共15页(ⅰ)当直线lx轴时,直线l的方程为(0)xmm且2222m则221122,4,,422mmxmyxmyOAOB12120xxyy22(4)02mm解得263m，故直线l的方程为263x，因此,点(0,0)O到直线l的距离为263d，又圆2283xy的圆心为(0,0)O,半径263rd所以直线l与圆2283xy相切…8分(ⅱ)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为ykxn，联立直线和椭圆方程消去y得；得222(12)4280kxknxn，2121222428,1212knnxxxxkk2212121212()()()yykxnkxnkxxnkxxn222812nkkOAOB12120xxyy，故2222228801212nnkkk，即22223880,388nknk①………………………………………11分又圆2283xy的圆心为(0,0)O,半径263r，圆心O到直线l的距离为21ndk，2222222313(1)1nnndkkk②将①式带入②式得：22288833(1)kdk，所以263dr