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12014年浙江省高考预测·名校交流·创新模拟四月调研数学（理科）满分150分时间120分钟镇海中学叶申伦陈诗成一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知𝑧1,𝑧2为共轭复数.若|𝑧1−𝑧2|=√𝑏且𝑧1(𝑧2)2为实数，则|𝑧1|=()A.√2B.2C.3D.√62.设集合𝑆={𝑦|𝑦=𝑥1𝑥2+𝑥3𝑥4+⋯+𝑥2013𝑥2014且𝑥1,𝑥2…𝑥2014∈{√2−1,√2+1}}.则𝑆中不同的整数共有_____个.()A.502B.503C.504D.5053.设𝑓(𝑥)=(𝑥+1)𝑒𝑥.下列命题正确的是()A.对于∀𝑚1−𝑒2都∃𝑥∈ℝ使得𝑓(𝑥)𝑚.B.对于∀𝑚1−𝑒2都∃𝑥∈ℝ使得𝑓(𝑥)𝑚.C.∃𝑚1−𝑒2使方程𝑓(𝑥)=𝑚有且仅有1个实根.D.∃𝑚1−𝑒2使方程𝑓(𝑥)=𝑚有2个实根.4.四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷底面不是平行四边形.现用某平面截此四棱锥，得到四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.设集合𝑆={平行四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1}，则()A.S为无穷集.B.S为单元素集合.C.S为空集.D.S中元素的个数无法确定.5.在平面直角坐标系中,𝐴(0,2)，𝐵(0,1)，𝐷(𝑡,0).M为AD上动点.若|𝐴𝑀|≤2|𝐵𝑀|恒成立，则正实数t的最小值为()A.2√33B.1C.4√33D.26.不等式|𝑥−4|−|𝑥−1||𝑥−3|−|𝑥−2||𝑥−3|+|𝑥−2||𝑥−4|的解集为()A.(3,4)∪(5,7)B.(1,4)∪(5,7)C.(2,3)∪(4,7)D.(3,4)∪(4,7)2Processor开始S=0,a=-4a=a+1a5?S=S+1是否是否输出S结束7.圆心角为120°的扇形AOB半径为1.C为AB̂的中点.点D，E分别在半径OA，OB上(不含端点).若|𝐶𝐷|2+|𝐶𝐸|2+|𝐷𝐸|2=2，则|𝑂𝐷|+|𝑂𝐸|的范围是()A.(0,35)B.(0,45]C.(0,1]D.(1,2]8.执行如图所示的程序框图，输出的s的值是A.3B.5C.7D.89.已知圆柱底面半径为𝑟且高为ℎ.过上底面内的任意一点P作一截面，与底面夹角为α.α∈(0,𝜋2).将夹在截面与下底面之间的几何体侧面展开为平面图形的曲线方程为A.𝑦=𝑟∙tan𝛼∙sin(𝑥𝑟−𝜋2)B.𝑦=𝑟∙tan𝛼∙sin(𝑥𝑟+𝜋2)C.𝑦=𝑟∙cot𝛼∙sin(𝑥𝑟−𝜋2)D.𝑦=𝑟∙cot𝛼∙sin(𝑥𝑟+𝜋2)10.已知集合𝐴由100个非负整数组成，且对于∀𝑥,𝑦∈𝐴都有𝑥+𝑦∈𝑆.则集合𝑆中的元素个数最少和最多分别为()A.5051;198B.5050;199C.5051;199D.5050;198二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11.设𝑡=𝑎−𝑐𝑎−𝑏+𝑎−𝑏𝑏−𝑐.则当𝑎𝑏𝑐时，𝑡的最小值为__________.12.若方程𝑠𝑖𝑛2𝑥−(2𝑎+1)∙𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑎2=0有实数解，则𝑎的取值范围为__________.13.已知(2𝑥+12)𝑛−(3𝑥+13)𝑛=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛.则𝑎𝑘(0≤𝑘≤𝑛)的最小值为__________.14.新定义运算⌊𝑥⌋表示不超过𝑥的最大整数.则⌊𝑙𝑔2⌋+⌊𝑙𝑔3⌋+⋯+⌊𝑙𝑔2014⌋+⌊𝑙𝑔12⌋+⌊𝑙𝑔13⌋+⋯+⌊𝑙𝑔12014⌋=__________.15.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑘1𝑥+𝑏1|+|𝑘2𝑥+𝑏2|−|𝑘3𝑥+𝑏3|.𝑘1,𝑘2,𝑘3均大于0.若𝑦=𝑓(𝑥)的函数图象(2𝑎2+2)2+4(𝑎2−4𝑎+7)−(𝑎2+4𝑎−5)2+4(𝑎2−4𝑎+7)≥4?3总有一段平行于𝑥轴的部分，则𝑘1,𝑘2,𝑘3应满足的关系为__________.16.有8位乘客,任意登上6节火车厢，恰好2节车厢无人的上车方法总数为__________.17.设𝑓(𝑥)=𝑎(1−2|𝑥−12|).𝑎是大于0的常数.若存在𝑥0满足𝑓(𝑓(𝑥0))=𝑥0且𝑓(𝑥0)≠𝑥0，则称𝑥0为函数𝑓(𝑥)的拉格朗日点.已知𝑓(𝑥)有两个拉格朗日点，则𝑎的取值范围为__________.三、解答题（72分）18.在△𝐴𝐵𝐶中,(1)求证:𝑐𝑜𝑠2𝐴+𝑐𝑜𝑠2𝐵+𝑐𝑜𝑠2𝐶=1−2𝑐𝑜𝑠𝐴∙𝑐𝑜𝑠𝐵∙𝑐𝑜𝑠𝐶(2)若𝑐𝑜𝑠𝐴39=𝑐𝑜𝑠𝐵33=𝑐𝑜𝑠𝐶25，求𝑠𝑖𝑛𝐴:𝑠𝑖𝑛𝐵:𝑠𝑖𝑛𝐶.19.△𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛的三边长分别为𝑎𝑛,𝑏𝑛,𝑐𝑛，面积为𝑆𝑛(𝑛=1,2,3…).已知𝑏1𝑐1，𝑏1+𝑐1=2𝑎1，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛，𝑏𝑛+1=𝑎𝑛+𝑐𝑛2，𝑐𝑛+1=𝑎𝑛+𝑏𝑛2.求证:{𝑆𝑛}是递减数列.20.△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝑎.𝑃在𝐴𝐵上，𝑃𝐸∥𝐵𝐶，𝑃𝐹∥𝐴𝐶.将△𝐴𝑃𝐸及△𝐵𝑃𝐹翻折，使平面𝐴′𝑃𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝐵′𝑃𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐶(1)求证:𝐵′𝐶∥平面𝐴′𝑃𝐸(2)设|𝐴𝑃||𝐵𝑃|=λ.求当λ为何值时，二面角𝐶−𝐴′𝐵′−𝑃的大小为60°.21.𝐴是椭圆𝐶1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上一点.𝑂为坐标原点.点𝐴关于𝑦轴、原点、𝑥轴的对称点依次为B、C、D.E为𝐶1上另外一点，且𝐴𝐸⊥𝐴𝐶.(1)记直线𝐵𝐷与直线𝐶𝐸交点𝐹的轨迹所形成的曲线为𝐶2.求𝐶2轨迹方程.(2)设𝐶3:𝑥2+𝑦2=1且(𝑎2+𝑏2)3=𝑎2𝑏2(𝑎2−𝑏2)2.𝐶2的一条弦𝐴1𝐵1与𝐶3相切.求∠𝐴1𝑂𝐵1.422.设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥2+(𝑎2+𝑏)𝑥+𝑎3(1)若对于∀𝑥1,𝑥2∈(0,1)且𝑥1≠𝑥2有𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2𝑓(𝑥1+𝑥22)恒成立,同时对于∀𝑥1,𝑥2∈(1,∞)且𝑥1≠𝑥2有𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2𝑓(𝑥1+𝑥22)恒成立,求𝑎的取值范围.(2)设𝑝𝑞0,求证:存在ε使得𝑓′(ε)=𝑓(𝑝)−𝑓(𝑞)𝑝−𝑞52014年浙江省高考预测·名校交流·创新模拟四月调研数学（理科）参考答案一、选择题1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.B8.D9.A10.B二、填空题11.312.[−45,1+√2]13.{12𝑛−13𝑛,𝑛为奇数0,𝑛为偶数14.-201015.𝑘1+𝑘2=𝑘316.61236017.𝑎12三、解答题18.(1)略(2)13:14:1519.略20.(1)略(2)λ=7±3√5221.(1)𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=(𝑎2−𝑏2𝑎2+𝑏2)2(2)𝜋222.(1)-1(2)略简评：该卷源于课本，高于课本，综合考察学生坚持不懈的品质、扎实的计算功底、灵活的转化与化归思想的应用、考场应变能力和迎难而上的精神。风格新颖，深入浅出。第3、12题利于考生把握，入口宽，出口窄。填空最后一题耐人寻味，是全卷的点睛之笔。第20题充分体现出命题人的创新意识，对考生能力有一定要求。新定义题较多，如高斯函数、拉格朗日点等，考察了考生的学习能力，同时为考生日后学习打下基础，衔接性较好。纵观全卷，每道题目都十分精彩，考出了难度，考出了水平，考出了数学之美，实现了致(bao)敬(fu)余姚中学名校交流卷和创新模拟卷的历史任务，为近年不可多得的佳作。建议使用时间：七月份撕书时。（镇海中学徐若衡）