2015北京高考数学理科真题答案解析历年数学高考试题

2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：101088992015年北京高考数学（理科）答案与解析1．A．【解析】i2i12i2．D．【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12，易知在01，处截距取得最大值，此时2z．3．B．【解析】程序运行过程如下表所示x1024y1220k0123s024t22故输出结果为40，（学而思）4．B【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条与另一平面平行，故“m∥”是“∥”的必要条件．若“m∥”，“∥”不一定成立，反例如右图所示．5．C【解析】立体图形如右图所示Oyxβα2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899过P点做AB的垂线交AB于点D12222ABCS△155122PBCPACSS△△5BC，1PC，6PBPA，∴5PD12552PABS△．所以表面积52252252S．6．C【解析】A．例如12a，21a，34aB．例如12a，21a，34aC．0d2213222()()aaadadad22222aad∴213aaaD．22123()()0aaaad≤故选C．（学而思）7．C【解析】如图，1x时，2()log(1)fxx∴2()log(1)fxx≥解集为11，，需要注意，2log(1)x定义域不包含1故选C．CBAP(x+1)log2-122Oyx2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：101088998．D【解析】A．问的是纵坐标最大值．B．消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油C．此时甲走过了80千米，消耗8升汽油D．80km/h以下丙“燃油效率”更高，更省油故选D．9.40；【解析】5(2)x中3x的项为3235C2x所以系数为40.10.33；【解析】渐近线为30xy所以有3ba，有双曲线的方程2221xya得1b，且0a.以33a.11.1；【解析】点π(2,)3对应的直角坐标为点(1,3)，极坐标方程(cos3sin)6对应的直角坐标方程为360xy，根据点到直线的距离公式|136|12d.12.1；【解析】由余弦定理可得2222536163cos22564bcaAbc，由正弦定理和二倍角公式可得，sin22sincos322cos21sinsin43AAAaACCc.13.11,26xy；【解析】解法一：MNANAM1223ABACAC1126ABAC11,26xy；2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899解法二：取特殊，假设ABC为直角三角形，角A为直角，且4,3,5ABACBC那么，2AMMC，BNNC，所以M的坐标为(0,2)M，点3(2,)2N，则MNxAByAC等价与1(2,)(4,0)(0,3)2xy，所以11,26xy.（学而思）14.⑴1⑵1,12,2【解析】①若函数()2xhxa在1x时与x轴有一个交点，所以0a，并且当1x时，(1)20ha，所以02a，函数()4()(2)gxxaxa有一个交点，所以21a≥且1a所以112a≤②若函数()2xhxa与函数没有交点，()4()(2)gxxaxa有两个交点，当0a≤，()hx与x轴无交点，()gx无交点，所以不满足题意（舍）当(1)20ha≤时，2a≥，()gx的两个交点为12,2xaxa都是满足题意的综上所述，a的取值范围是1122aa≤，≥NMABC543NCBAM2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889915．【解析】2()2sincos2sin222xxxfx21cossin222xx222sincos222xxπ2sin42x()Ⅰ2π2πT，∴()fx最小正周期为2π．()Ⅱπ0x，π3ππ444x，π2sin142x，∴π22()sin10422fxx，故()fx最小值为min3π2142f．16．【解析】⑴1317C3()C714Pt≥⑵当25a时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天，14天，15天，16天共4人．若乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天，15天，16天，共3人．若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天，16天，共2人若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人．当乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不合题意．所以符合题意的甲、乙选择方式共432110种所有甲、乙组合情况共1177CC49种因为任何组合情况都是等可能的，故10()49Ptt甲乙．⑶11a或18a根据数据平移和调整顺序不影响方差易得.学而思2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899DzyxAOCBEF17.【解析】⑴∵AEF△是等边三角形，O为EF的中点∴AOEF又∵平面AEF平面EFCB，且平面AEF平面=EFCBEF∴AO平面EBCF∴AOBE⑵取CB的中点D，连接OD如图分别以OEODOA，，为xyz，，轴建立直角坐标系003Aa，，，00Ea，，，22330Ba，，03AEaa，，，22330EBaa，，设平面AEF的法向量为1010n，，平面AEB的法向量2nxyz，，302320axazaxay所以2311n，，所以FAEB二面角的余弦值12125cos5nnnn因为FAEB二面角为钝二面角，、所以余弦值为55.⑶由⑴知AO面FEBC∴AOBE若BE平面AOC仅需BEOC由⑵得22330EBaa，，22330OCa，，0EBOC，解得2a（舍）或43a2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889918.【解析】⑴1()ln1xfxx,(1,1)x,22()1fxx(0)2,(0)0,ff所以切线方程为2yx⑵原命题等价于3(0,1),()2()03xxfxx设函数3()ln(1)ln(1)2()3xFxxxx422()1xFxx，当(0,1)x时，()0Fx，函数()Fx在(0,1)x上是单调递增的，()(0)0FxF，因此3(0,1),()2()3xxfxx⑶31ln(),(0,1)13xxkxxx31()ln()0,(0,1)13xxtxkxxx422222()(1),(0,1)11kxktxkxxxx，所以0,2,()0ktx≥，函数()tx是单调递增，()(0)0txt显然成立学而思当2k时，令402()0,(0,1)ktxxkx0(0,)x0x0(,1)x()tx0()tx极小值0()(0)0txt，显然不成立.由此可知k的最大值为2\2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889919．【解析】（1）椭圆222210xyabab过01P，∴21b离心率222122cabaeaaa∴2a∴椭圆方程为2212xy∵01P，，Amn，，∴直线PA的方程为11nyxm，直线PA与x轴交于M，令0y，则1Mmxn，∴01mMn，（2）∵01P，，Bmn，∴直线PB的方程为11nyxm，直线PB与x轴交于N令0y，则1Nmxn∴01mNn，设00Qy，001tan1mmnOQMyny，001tan1ynyONQmmn∵OQMONQ∴tantanOQMONQQNBAMOyxP2015高考真题解析地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899∴0011ynmnym∴222022212mmymn∴02y∴存在点02Q，，使OQMONQ．20.【解析】⑴1234612242243612aaaa，，，，∴61224M，，．⑵用反证法证明1a是3的倍数．学而思否则若1a不是3的倍数，用归纳法证明所有的na都不是3的倍数．1n时1a不是3的倍数，假设nk时，ka不是3的倍数，对于1nk，12kkaa或236ka都不是3的倍数，则所有的na都不是3的倍数，这与na中存在一个数是3的倍数矛盾．因此1a是3的倍数，于是212aa或1236a是3的倍数，依次类推，所有的na都是3的倍数．⑶M的元素个数的最大值为8．首先M中的元素都不超过36，由136a≤，易得236a≤，类似可得36na≤．其次，M中的数最多除了前面两个数外，都是4的倍数．因为第二个数肯定是偶数，由na定义可知第三个数及其后面的数肯定是4的倍数．再次，M中的数除以9的余数，由定义式可知，1na与2na除以9的余数一样，①若na中有3的倍数，由⑵可知，所有的na都是3的倍数，所以，na除以9的余数为3636，，，，或6363，，，，，或00，，，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项最多4项．②na中没有3的倍数，则na都不是3的倍数，对于3a除以9的余数，只能是147258，，，，，中的一个，从3a起，na除以9的余数是1248751248，，，，，，，，，，不断6项循环的（可能是从2，487，，或5开始），而除以9的余数是124875，，，，，且是4的倍数（36≤）只有2820481632，，，，，，所以M中的项加上前两项最多8项．学而思易知，11a时，124816322820M，，，，，，，项数为8，所以M的元素最大个数为8．