2015年北京市海淀区高三二模理科数学解析

资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考2015.5学而思高考研究中心—武洪姣、张剑、曲丹季晓蕊、陈书杰、成文波一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C【解析】依题意可求3,4UA，1,2,1,2,3,4AAB，UAB，3,4UUABA，因此选C.（2）D【解析】30.20,1a，2log0.30b，0.321c，综上可知，bac，选D.（3）D【解析】点π2,6换算为直角坐标系坐标为点3,1，所以平行与极轴的直线方程即为1y，换算回极坐标系可得：sin1，选D（4）A【解析】“pq为真命题”即p和q都为真，“pq为真命题”即p和q中至少有一个为真，因此“pq为真命题”能推出“pq为真命题”，反之不成立，所以为充分不必要条件，选A.资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]（5）B【解析】函数在0x处有定义，且为奇函数，因此00f，即cos0，选B.（6）A【解析】10fx即为题目图中的阴影部分面积，根据几何概型，这部分面积为矩形面积的33100，1033993100100fx，选A（7）C【解析】当0x≤时，232111'31e1e41exxxfxxxxx所以，4x是一个极值点，因为fx是偶函数，所以4x也是一个极值点，又fx是偶函数，所以0x必为极值点，综上，一共有3个极值点.注意：虽然1x时'0fx，但是在1x的左右两边'fx是同号的，所以并非极值点（8）C【解析】当5n时，假设五个点为,,,,ABCDE，则ABCD构成一个正四面体，E为正四面体的中心，即满足要求.下面证明当5n≥时必不满足要求，若5n≥，则至少有,,,,,ABCDEF六个点满足题目要求，AB面DEF，AC面DEF资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]必有,,ABC三点共线，则可知,,,ABCD四点共面，不满足题意，矛盾.因此5n≤.综上，5n.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）9.2，413n【解析】由等比中项的226464aaa，由于3432aa，所以432aqa，12nna，则2121(2)4nnna，是公比为4的等比数列，所以222121(41)41413nnnaaa.10.30，1【解析】如图，连接OD,则有ODAB，由题意120ACB，3ACBC，所以30DBO，所以60BOD，由ODOE，所以ODE为等边三角形，则ODOEDE，120DEB，所以EDB30.从而有BDE为等腰三角形，DEBE，因此有OEBEOC，而3BC，所以1BE.11.0a(或0a,或1a)，2aa【解析】根据题目要求，应该是所有的负数的和为最小值，所以跳出条件为0a，根据已知na是公差为2的等差数列，所以2aa来得到数列na的项.12.(2,)【解析】所找的正方形的中心在坐标原点，根据对称性，只需考虑第一象限。只要双曲线过正方形的顶点(,)xx即可，所以双曲线的渐近线的斜率1bka，所以2212bea.EODCBA资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]【解析】分为两种情况：(1)有0个红色时，有2228；(2)有2个红色时，23C26；所以共有14种.14．10(,1]10【解析】平面区域D如图所示，OM不为0，所以OAOMOM等价于cos,OAOMOAOMOAOMOMOAOM的取值就是OA，OM的夹角的余弦值，当OA，OM共线时取得最大值1，当M沿着360xy趋于无穷时，OA，OM的夹角的余弦值趋于1010，但是取不到，综上的取值范围是10(,1]10.MMA43yx3x-4=03x+y-6=0y=1O1资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]三、解答题（共6小题，共80分）15、（共13分）【解析】（Ⅰ）因为36cos2aA，所以2223622bcaabc.………………3分因为5c，26b，所以23404930aa.解得：3a或493a（舍）.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：26cos3336A.所以21cos22cos13AA.………………9分因为3a，5c，26b，所以2221cos23acbBac.………………11分所以cos2cosAB.………………12分因为cba，所以(0,)3A.因为(0,)B，所以2BA.………………13分另解：因为(0,)A，所以23sin1cos3AA.由正弦定理得：263sin33B.所以22sin3B.所以3622sin22sin333AB.………………12分资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]MBDCOAP因为cba，所以(0,)3A，(0,)2B.所以2BA.………………13分16、（共13分）【解析】（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分212220C330C95PX；11128220CC481C95PX；28220C142C95PX；所以抽取的2名男生中优秀人数X的分布列为：X012P953395489514………………10分（Ⅲ）结论一：男生成绩为优秀的比例为40%,女生优秀的比例为45%，所以说明此项目中女生的优秀率高于男生；结论二：男生投掷距离的极差是102-57=45；女生投掷距离的极差是81-54=27说明女生的差距较小，实力相当………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.17、（共14分）【解析】（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OM.因为//ABCD，2ABCD，所以2BOABDOCD.因为2BMMP，所以2BMPM.所以BMBOPMDO.所以//OMPD.………………2分因为OM平面MAC，PD平面MAC，所以//PD平面MAC.………………4分（Ⅱ）证明：因为平面PAD平面ABCD，ADAB，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.………………6分因为PA平面PAD，资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]所以ABPA.………………7分同理可证：ADPA.因为AD平面ABCD，AB平面ABCD，ADABA，所以PA平面ABCD.…9分（Ⅲ）解：分别以边,,ADABAP所在直线为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由22ABADAPCD得(0,0,0)A，(0,2,0)B，(2,1,0)C，(2,0,0)D，(0,0,2)P，则(2,1,0)AC，(0,2,2)PB.由（Ⅱ）得：PA平面ABCD.所以平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n.………………10分设PMPB(01)，即PMPB.所以(0,2,22)AMAPPB.设平面AMC的法向量为(,,)mxyz，则0,0,mACmAM即20,2(22)0.xyyz令1x，则22y，2z.所以(1,22,2)m.………………12分因为二面角BACM的余弦值为23，所以2|2|239105，解得12.所以PMPB的值为12.………………14分zyxMBDCAP资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]、（共13分）【解析】（Ⅰ）令()0fx，得ex.故()fx的零点为e.………………1分22231()(1ln)22ln3'()()xxxxxfxxx（0x）.………………3分令'()0fx，解得32ex.当x变化时，'()fx，()fx的变化情况如下表：()fx32(0,e)32e32(e,)'()fx0()fx↘↗所以()fx的单调递减区间为32(0,e)，单调递增区间为32(e,).………………6分（Ⅱ）令ln()xgxx.则2211ln1ln'()()xxxxgxfxxx.………………7分因为11()44ln244622f，(e)0f，且由（Ⅰ）得，()fx在(0,e)内是减函数，所以存在唯一的01(,e)2x，使得00'()()6gxfx.当[e,)x时，()0fx.所以曲线lnxyx存在以00(,())xgx为切点，斜率为6的切线.…………10分由00201ln'()6xgxx得：200ln16xx.所以20000000ln161()6xxgxxxxx.因为012x,所以012x，063x.资料分享QQ群：141304635联系电话：[phone]地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]所以00()1ygx.……13分19、（共14分）【解析】（Ⅰ）依题意得22224,,.acbabc解得：2a，2bc.………………3分所以圆O的方程为222xy，椭圆C的方程为22142xy.…………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)Pxy（00y），0(,)QQxy，则22002201,422,Qxyxy即220022042,2.Qxyxy………………7分又由00:(2)2yAPyxx得002(0,)2yMx.由00:(2)2yBPyxx得002(0,)2yNx.10分所以0000002(,)(,)22QQyxyQMxyxxx,0000002(,)(,)22QQyxyQNxyxxx.所以222222000002200(42)2042QxyyyQMQNxyxy