2015年普通高等学校招生全国统一考试课标卷理数答案解析正式版解析版历年数学高考试题

海量资源尽在星星文库：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合21,01,2A｛，，｝，(1)(20Bxxx,则AB（）A．1,0AB．0,1C．1,0,1D．0,1,2【答案】A考点：集合的运算．2．若a为实数且(2)(2)4aiaii，则a（）A．1B．0C．1D．2【答案】B【解析】试题分析：由已知得24(4)4aaii，所以240,44aa，解得0a，故选B．考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．考点：正、负相关．2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年190020002100220023002400250026002700海量资源尽在星星文库：．等比数列｛an｝满足a1=3，135aaa=21，则357aaa()A．21B．42C．63D．84【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．5．设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx,2(2)(log12)ff()A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】试题分析：由已知得2(2)1log43f，又2log121，所以22log121log62(log12)226f，故2(2)(log12)9ff，故选C．考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A．81B．71C．61D．51【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCDABCD中，截去四面体111AABD，如图所示，，设正方体棱长为a，则11133111326AABDVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D．考点：三视图．海量资源尽在星星文库：．过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则||MN()A．26B．8C．46D．10【答案】C【解析】由已知得321143ABk，27341CBk，所以1ABCBkk，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25xy，令0x，得262y，所以46MN，故选C．考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,ab分别为14,18，则输出的a()A．0B．2C．4D．14【答案】B【解析】试题分析：程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a；6a；2a；2b，此时2ab程序结束，输出a的值为2，故选B．考点：程序框图．9．已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，aba=a-bb=b-a输出a结束开始输入a，ba≠b是是否否海量资源尽在星星文库：的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】试题分析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为24144SR，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx．将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数()fx，则()yfx的图像大致为（）【答案】B【解析】DPCBOAx海量资源尽在星星文库：考点：函数的图象和性质．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．2【答案】D【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，如图所示，ABBM，0120ABM，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，BNa，3MNa，故点M的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得2222abac，即222ca，所以2e，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)【答案】A【解析】试题分析：记函数()()fxgxx，则''2()()()xfxfxgxx，因为当0x时，'()()0xfxfx，故当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)单调递减；又因为函数()()fxxR是奇函数，故函数()gx是偶函数，所以()gx在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg．当01x时，()0gx，则()0fx；当1x时，()0gx，则()0fx，综上所述，使得()0fx成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选A．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II卷（非选择题，共90分）海量资源尽在星星文库：本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．【答案】12【解析】试题分析：因为向量ab与2ab平行，所以2abkab（），则12,kk，所以12．考点：向量共线．14．若x，y满足约束条件1020,220,xyxyxy，，则zxy的最大值为____________．【答案】32【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yxz，当z取到最大时，直线yxz的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则zxy的最大值为32．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO15．4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a__________．【答案】3【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464xxxxx，故4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a．考点：二项式定理．16．设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．【答案】1n【解析】海量资源尽在星星文库：试题分析：由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．考点：等差数列和递推关系．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．(Ⅰ)求sinsinBC；(Ⅱ)若1AD，22DC，求BD和AC的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．(Ⅱ)因为::ABDADCSSBDDC，所以2BD．在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB，2222cosACADDCADDCADC．222222326ABACADBDDC．由(Ⅰ)知2ABAC，所以1AC．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；海量资源尽在星星文库：（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.48．【解析】试题分析：（Ⅰ）将,AB两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满意时，A地区满意度等级为非常满意．再利用互斥事件和独立事件的概率来求解．试题解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下A地区B地区456789A地区B地区4567896813643245564233469688643321928651137552海量资源尽在星星文库：表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1BC与2BC互斥，1122BABACCCCC．1122()()BABAPCPCCCC1122()()BABAPCCPCC1122()()()()BABAPCPCPCPC．由所给数据得1AC，2AC，1BC，2BC发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()APC16=20，2()=APC420，1()=BPC1020，2()BPC8=20，故101684()=+0.4820202020PC．考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件．19．（本题满分12分）如图，长方体1111ABCDABCD中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB，11CD上，114AEDF．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515．【解析】试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交线围成的正方形EHGF，计算相关数据．以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，并求平面的法向量和直线AF的方向向量，利用sincos,nAFnAFnAF