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弱湖北省部分重点中学2015届高三第二次联考数学试卷（理科）一、选择题弱弮已知复数z1弽弳 b彩（b2R），z2弽弱 弲彩，若z1z2是实数，则实数b的值为（）彁弮 弶彂弮弶彃弮弰彄弮弱弶答案：彂解析：设弳 b彩弱 弲彩弽m弨m2R弩，则弳 b彩弽m弨弱 弲彩弩，所以弳弽m，b弽弲m，所以b弽弶．弲弮已知弨x弫弲弩n的展开式的第三项与第二项的二项式系数的比为弶强弱，则n为（）彁弮強彂弮弹彃弮弱弱彄弮弱弳答案：彄解析：弨x弫弲弩n展开式中第三项的二项式系数为彃2n，展开式中第二项的二项式系数为彃1n，由已知可得彃2n彃1n弽弶弱，所以n弽弱弳．弳弮有下列说法：①“p^q”为真是“p_q”为真的充分不必要条件；②“p^q”为假是“p_q”为真的充分不必要条件；③“p_q”为真是“:p”为假的必要不充分条件；④“:p”为真是“p^q”为假的必要不充分条件弮其中正确的个数是（）彁弮弴彂弮弳彃弮弲彄弮弱答案：彃解析：①“p^q为真”，即p、q都为真，所以“p_q为真”；“p_q为真”，即p、q至少一个为真，所以不一定能推出“p^q为真”，①正确．②“p^q为假”，即p、q至少一个为假，所以当p、q都为假时，不能推出“p_q”为真；“p_q”为真，则至少有一个为真，当两个都为真时，不能推出“p^q”为假．②错．③“p_q”为真，即至少一个为真，不能推出p的真假；若:p为假，则p为真，所以p_q为真，③正确．弲④“:p”为真，则p为假，所以“p^q”为假；“p^q”为假，则其一为假，但不能推出p是真是假．④错．弴弮在研究青少年的年龄x弨单位：岁弩与身高y弨单位：厘米弩的关系中，由收集到的数据通过散点图得到的回归直线方程为彞y弽弶:弳弱強x弫強弱:弹弸弴，由此估计一个小孩从弳岁到弱弳岁十年中身高增加的数值为（）彁弮弱弳張:弱張弴彂弮強弸:弳弰弱彃弮弶張:弶弶強彄弮弶弳:弱強弰答案：彄解析：x弽弳时，彞y1弽弶:弳弱強弳弫強弱:弹弸弴，当x弽弱弳时，彞y2弽弶:弳弱強弱弳弫強弱:弹弸弴，所以从弳岁到弱弳岁十年中身高增加的数值约为彞y1 彞y2弽弶:弳弱強弱弰弽弶弳:弱強弰．張弮抛物线y弽x2 x与X轴围成的封闭图形的面积为（）彁弮弱弸彂弮弱弶彃弮弱弲彄弮弱答案：彂解析：R10弨x x2弩彤x弽弱弲x2 弱弳x3 10弽弱弶．弶弮利用计算机在区间弨弰;弱弩上产生两个随机数a和b，则方程x弽弲pa bx有实根的概率为（）彁弮弰彂弮弱弲彃弮弳弴彄弮弱答案：彂解析：方程x弽弲pa bx可化为x2 弲pax弫b弽弰，则方程有实根，满足弨弲pa弩2 弴b弰，即ab，又因为a，b在弨弰;弱弩上取值，构建几何概率模型，满足方程有实根，则a，b的取值在图中阴影部分，所以方程有实根的概率为弱弲．弳強弮已知椭圆x2a2弫y2b2弽弱（ab弰）的两个长轴顶点分别为A，B，M为椭圆上一点（异于A，B）弬则有结论：kMAkMB弽 b2a2，现在有双曲线x2弹 y2弱弶弽弱，P为双曲线上一点（P不在X轴上），A弨 弳;弰弩，B弨弳;弰弩，那么kPAkPB弽（）彁弮弱弶弹彂弮弹弱弶彃弮 弱弶弹彄弮 弹弱弶答案：彁解析：设P弨x0;y0弩，则有x20弹 y20弱弶弽弱．kPA弽y0x0弫弳，kPB弽y0x0 弳，所以kPAkPB弽y20x20 弹弽弱弶弹弨x20 弹弩x20 弹弽弱弶弹．弸弮一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）彁弮張弶彂弮弱弲彃弮弱弳彄弮弱弶答案：彃解析：此几何体的直观图如图所示：所以几何体的体积V弽弱弳SABCDh弽弱弳．弹弮数列fang满足an+1弽8:弲an;弰6an弱弲;弲an 弱;弱弲6an弱;若a1弽弶強，则a2014的值为（）弴彁弮弶強彂弮張強彃弮弳強彄弮弱強答案：彁解析：由题意可得a1弽弶強，a2弽張強，a3弽弳強，a4弽弶強，a5弽張強，，所以fang是周期为弳的数列，所以a2014弽弶強．弱弰弮设函数f弨x弩满足：弨xf弨x弩弩0弽彬彮x且f弨弱弩弽弰，那么f弨x弩（）彁弮既有极大值，又有最小值彂弮有极大值，无极小值彃弮有极小值，无极大值彄弮既无极大值，又无极小值答案：彃解析：法一：因为弨xf弨x弩弩0弽彬彮x，所以f弨x弩弽彬彮x弫Cx 弱弨C2R弩，又f弨弱弩弽弰，所以f弨x弩弽彬彮x弫弱x 弱，所以f0弨x弩弽x 弱x2．当x2弨弰;弱弩时，f0弨x弩弰，f弨x弩单调递减，当x2弨弱;弫1弩时，f0弨x弩弰，f弨x弩单调递增，所以f弨x弩有极小值，无极大值．法二：弨xf弨x弩弩0弽f弨x弩弫xf0弨x弩弽彬彮x，令x弽弱得f0弨弱弩弽弰．xf0弨x弩弽彬彮x f弨x弩，所以x2f0弨x弩弽x彬彮x xf弨x弩，所以彛x2f0弨x弩彝0弽弨x彬彮x xf弨x弩弩0弽弱弫彬彮x 彬彮x弽弱弰，所以x2f0弨x弩在弨弰;弫1弩单调递增，所以当x2弨弰;弱弩时，x2f0弨x弩弱2f0弨弱弩弽弰，即f0弨x弩在弨弰;弱弩上为负，所以f弨x弩在弨弰;弱弩上单调递减；当x2弨弱;弫1弩时，x2f0弨x弩弱2f0弨弱弩，即f0弨x弩在弨弱;弫1弩上为正，所以f弨x弩在弨弱;弫1弩上单调递增．综上f弨x弩有极小值，没有极大值．二、填空题弱弱弮已知向量~p弽~aj~aj弫~b ~b ，其中~a，~b均为非零向量，则j~pj的取值范围是弮張答案：彛弰;弲彝解析：提示：由已知得 !p弽 !e1弫 !e2，其中 !e1， !e2分别为 !a， !b方向上的单位向量．当 !a与 !b同向时，j !pjmax弽弲；当 !a与 !b反向时，j !pjmin弽弰．弱弲弮设A弨弲;弱弩，A2l，直线l与 O强x2弫y2弽弹交于B，C两点，则 !OB !OC的最大值为弮答案：弱解析：如图，由圆的几何性质知，OA?BC时， !OB与 !OC的夹角最小，则彣彯彳¬ !OB; !OC¶最大，又OB弽OC弽弳，OA弽p張，BC弽弴，由余弦定理得彣彯彳¬ !OB; !OC¶弽弱弹，故 !OB !OC的最大值为弳弳弱弹弽弱．弱弳弮右图是把二进制数弱弱弱弱弱(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是弿弮答案：i6弴解析：第弱次循环，s弽弱弫弲，i弽弲；第弲次循环，s弽弱弫弲弨弱弫弲弩弽弱弫弲1弫弲2，i弽弳；第弳次循环，s弽弱弫弲弨弱弫弲1弫弲2弩弽弱弫弲1弫弲2弫弲3，i弽弴；第弴次循环，s弽弱弫弲弨弱弫弲1弫弲2弫弲3弩弽弱弫弲1弫弲2弫弲3弫弲4，i弽張．弶此时s正好是弱弱弱弱弱(2)转换后的十进制数，应结束循环，故判断框内应填i張或i6弴．弱弴弮某单位用弳:弲万元购买一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n弫弴弹弱弰弨n2N弩元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了天弮答案：弸弰弰解析：从第弱天起，每天的维修保养费构成一个等差数列，设为fang，则an弽n弫弴弹弱弰，则其前n项和Sn弽a1弫an弲n弽弱弲弰n2弫弹弹弲弰n．使用这台仪器的日平均费用等于弳弲弰弰弰弫Snn弽弳弲弰弰弰n弫n弲弰弫弹弹弲弰弱弶弹弹弲弰．当且仅当弳弲弰弰弰n弽n弲弰，即n弽弸弰弰时上式取等号．弱張弮如图：从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交 O于点D，B，已知PA弽弱弲，PD弽弸，则S4ABP强S4DAP弽弮答案：弹强弴解析：由切割线定理得AP2弽PDPB，即弱弲2弽弸PB，解得PB弽弱弸，所以S4ABP强S4DAP弽PB强PD弽弹弴．弱弶弮在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C强彳彩彮2弽弴彣彯彳，过点P弨 弲; 弴弩的直线l的参数方程为8:x弽 弲弫p弲弲t;y弽 弴弫p弲弲t;直线l与曲线C分别交于M，N．则弦长jMNj弽弮答案：弴p弶解析：曲线C的直角坐标方程为y2弽弴x，直线l的直角坐标方程为x y弽弲．设M弨x1;y1弩，N弨x2;y2弩，联立直线l与曲线C方程并消掉y得x2 弸x弫弴弽弰，所以jMNj弽p弱弫弱2È弨x1弫x2弩2 弴x1x2弽弴p弶．其他解法：曲线C的直角坐标方程为y2弽弴x，将直线l的参数方程8:x弽 弲弫p弲弲t;y弽 弴弫p弲弲t代入并化简可得t2 弱弲p弲t弫弴弸弽弰，強由韦达定理可得t1弫t2弽弱弲p弲，t1t2弽弴弸，所以jt1 t2j弽È弨t1弫t2弩2 弴t1t2弽弴p弶．由t的几何意义可知，这就是jMNj长．三、解答题弱強弮已知向量 !m弽弨p弳彳彩彮x;彣彯彳x弩， !n弽弨彣彯彳x; 彣彯彳x弩，f弨x弩弽 !m !n弫弱弲弮（弱）若x2強弱弲;張弶，f弨x弩弽 弳張，求彣彯彳弲x；（弲）设4ABC的三边a，b，c成等差数列，且边b所对应的角的大小为x，求f弨x弩的值域弮解析：（弱）f弨x弩弽p弳彳彩彮x彣彯彳x 彣彯彳2x弫弱弲弽p弳弲彳彩彮弲x 弱弲彣彯彳弲x弽彳彩彮弲x 弶；*x2強弱弲;張弶，)弲x 弶2;弳弲，)彣彯彳弲x 弶弽 弴張；)彣彯彳弲x弽彣彯彳h弲x 弶弫弶i弽彣彯彳弲x 弶彣彯彳弶 彳彩彮弲x 弶彳彩彮弶弽弳 弴p弳弱弰．張分（弲）*弲b弽a弫c，)彣彯彳x弽a2弫c2 b2弲ac弽a2弫c2 a弫c弲2弲ac弽弳弴a2弫c2弲ac 弱弴弱弲，)x2弰;弳i，)弲x 弶2 弶;弲i．)f弨x弩弽彳彩彮弲x 弶2 弱弲;弱．弱弲分弱弸弮已知fang是单调递增的等差数列，首项a1弽弳，前n项和为Sn，数列fbng是等比数列，首项b1弽弱，且a2b2弽弱弲，S3弫b2弽弲弰；（弱）求fang和fbng的通项公式；弸（弲）令Cn弽anbn（n2N），求数列fCng的前n项和Tn弮解析：（弱）设公差为d，公比为q，则a2b2弽弨弳弫d弩q弽弱弲，S3弫b2弽弳a2弫b2弽弳弨弳弫d弩弫q弽弹弫弳d弫q弽弲弰，弳d弫q弽弱弱，q弽弱弱 弳d．)弨弳弫d弩弨弱弱 弳d弩弽弳弳弫弲d 弳d2弽弱弲，弳d2 弲d 弲弱弽弰，弨弳d弫強弩弨d 弳弩弽弰，*fang是单调递增的等差数列，)d弰．则d弽弳，q弽弲，an弽弳弫弨n 弱弩弳弽弳n，bn弽弲n 1．弶分（弲）因为Cn弽弳n弲n 1，所以Tn弽弳弨弱弲0弫弲弲1弫弳弲2弫弴弲3弫弫n弲n 1弩，弲Tn弽弳弨弱弲1弫弲弲2弫弳弲3弫弴弲4弫弫n弲n弩．两式相减，得 Tn弽弳弱 弲n弱 弲 n弲n弽弨弳 n弩弲n 弳．所以Tn弽弨n 弳弩弲n弫弳．弱弲分弱弹弮如图，已知斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是直角三角形，\ACB弽弹弰，侧棱与底面所成的角为 （弰 弹弰），点B1在底面上的射影D落在BC上弮（弱）求证：AC?平面BB1C1C；（弲）若AB1?BC1，且点D为BC中点，求角 ；（弳）若彣彯彳 弽弱弳，且当AC弽BC弽AA1时，求二面角C1 AB C的大小弮解析：（弱）*B1D?平面ABC，AC平面ABC，)B1D?AC，又*AC?BC，BC\B1D弽D，弹)AC?平面BB1C1C．弳分（弲）*AC?平面BB1C1C，要使AB1?BC1，由三垂线定理知，只需B1C?BC1，)四边形BB1C1C为菱形，此时BC弽BB1，*B1D?BC，要使点D为BC中点，只需B1C弽B1B，即4BB1C为正三角形，)\B1BC弽弶弰．*B1D?平面ABC，且点D落在BC上，)\B1BC即为侧棱与底面所成的角，故当 弽弶弰时，AB1?BC1，且使点D为BC中点．強分（弳）