2015福建高考数学理试题及答案解析历年数学高考试题

1/182015年福建省高考数学(理)试卷解析编写者：吴晓东江信辉王楠楠陈煜1、若集合（i是虚数单位），B={1，-1}，则等于A.{-1}B.{1}C.{1，-1}D.【答案】C【解析】2341,,1iiii=−=−=【点评】本题考查了虚数单位的周期性,是基础题,难度系数较小.2、下列函数为奇函数的是A.B.C.D.【答案】D【解析】A选项为非奇非偶函数,B、C选项为偶函数,D选项为奇函数.【点评】本题考查了函数的奇偶性的判定,是基础题,难度系数较小.3、若双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于A.11B.9C.5D.3【答案】B【解析】由双曲线的定义2126PFPFa−==,所以29PF=.【点评】本题考查了双曲线的定义212PFPFa−=,是基础题,难度系数较小.4、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万8.28.610.011.311.92/18元）支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得出回归直线方程，其中，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【答案】B【解析】由题目中的数据可以算出(,)xy为(10,8),将(,)xy代入0.76yxa=+,可以得到0.4a=,所以当15x=时,11.8y=【点评】本题考线性回归,只要知道回归直线必过点(,)xy,即可解出题目,是识记题,难度系数不大.5、若变量x，y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于A.B.C.D.【答案】A【解析】画出二元一次不等式组的图像,可以发现可行域为一个封闭的三角形,而所求的目标函数为二元一次式,只需将三个交点:1(0,0).(1,).(2,2)2−往上而代即可得到最小值为52−【点评】本题考查线性规划,将三个交点代入求最值即可,难度系数不大.6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为A.2B.1C.0D.-1【答案】C3/18【解析】当0,2;1,3;1,4;0,5;0,6SiSiSiSiSi===−==−=====【点评】本题考查程序框图,难度系数不大,主要三角函数值不要算错即可.7、若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当lm⊥时,l可能在平面α上,所以lm⊥不能推出//lα,而//lα且mα⊥可以推出lm⊥.【点评】本题考查空间中线与面的位置关系,只要掌握好线面垂直及线面平行的判定和性质定理,即可解决该类型的题目,难度系数不高.8、若a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】由于两个零点满足,abpabq+==,且0,0pq,所以,ab均为正数,所以只能是:,2,ab−为等比数列,,,2ab−(,,2)ba−为等差数列所以4,22abab=−=,解得4,1ab==所以5,4pq==【点评】本道题考查零点问题转化为方程根的问题,结合了等差等比的知识点,难度系数中等.4/189、已知若点P是所在平面内的一点，且，的最大值等于A.13B.15C19D.21【答案】A【解析】||ABAB为AB同向的单位向量,可设为N(0,1),||ACAC为AC同向的单位向量M(4,0)APANAM∴=+,(,)(0,1)(4,0)(4,1)xy=+=1(4,1)(4,1)1417124()1713PBPCtttttt∴⋅=−−⋅−−=−−+≤−−⋅−+=【点评】本题考单位向量、向量的坐标表示、向量的运算、基本不等式,难度系数中等.10、若定义在R上的函数满足=-1，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是A.B.C.D.【答案】C【解析】'()fxk设5/18''()()()()0hxfxkxhxfxk=−=−()hx∴为单调递增(0)(0)01101011()1111()11111()11hfkkhkfkkkfkk=−=−∴−∴−∴−−∴−⋅−−−∴−−【点评】本题考查构造函数,有一定的难度,难度系数高.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在相应位置.11、(x+5)5的展开式中，x2的系数等于.(用数字作答)【答案】80【解析】二项式展开即可.【点评】本题考查1rnrrrnTCab−+=,考查公式的识记,难度系数低.12、若锐角的面积为10，且AB=5，AC=8，则BC等于.【答案】7【解析】由面积公式1sin2ABCSABACA∆=⋅⋅可以求出3sin2A=,060A=再由余弦定理可以求得7BC=【点评】本题考查解三角形的面积公式和余弦定理,难度系数不高.13、如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于.6/18【答案】512【解析】通过定积分求得阴影部分面积为221754433xdx−=−=∫,所以概率为512【点评】本题考查定积分和几何概型,难度系数不高.14、若函数的值域是，则实数a的取值范围是.【答案】(1,2]【解析】通过数型结合可知1a,由于3log24a+≥,12a∴≤【点评】本题考查对数函数的图像,解不等式,难度系数中等.15、一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…()，其中(k=1,2,…，n)称为第k位码元。二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0组）.已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下效验方程组：其中运算定义为：.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述效验方程组可判定k等于.【答案】5【解析】4507(11)01(00)1011xxxx⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=7/182367(10)01(10)1110xxxx⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=1357(10)11(11)1011xxxx⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=【点评】本题考查新定义题,主要考查学生对新定义的理解,难度系数为高.16、某银行规定，一张银行卡若在一天之内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望。【解析】(1))设”当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A则5431()6542PA=⋅⋅=(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3【点评】本题考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望基础知识，考查运算求解能力.难度系数低8/1817、如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点。(Ⅰ)求证：GF//平面ADE；(Ⅱ)求平面AEF与平面BE所成锐角二面角的余弦值。【解析】（1）如图，取AE的中点H，连接HDHG、，所以ABGH∥，且12GHCD=，又F是CD的中点，所以12DFCD=，由四边形ABCD是矩形，得ABCD∥，ABCD=，所以GHDF∥，且GHDF=，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH∥，又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEC内，过B点作BQEC∥．因为BECE⊥，所以BQBE⊥．又因为AB⊥平面BEC，所以ABBE⊥，ABBQ⊥．以B为原点，分别,,BEBQBA以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,2)A，(0,0,0)B，(2,0,0)E，(2,2,1)F．因为AB⊥平面BEC，所以(0,0,2)BA=为平面BEC的法向量．设(,,)nxyz=为平面AEF的法向量．又(2,0,2)AE=−，(2,2,1)AF=−，由00nAEnAF⋅=⋅=，得220220xzxyz−=+−=，取2z=，得(2,1,2)n=−．从而2cos,3||||nBAnBAnBA⋅==⋅，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为23．【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，利用空间向量这一工具解题。9/1818、已知椭圆(ab0)过点，且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线l:x=my-l()交椭圆E于A,B两点，判断G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由。【解析】(1)由已知得，+===222,22,2cbaaca得===.2,2,2cba所以椭圆E的方程是12422=+yx(2)设点AByxByxA),,(),,(2211的中点为),(00yxH由=+−=124,122yxmyx得032)2(22=−−+myym，所以,23,22221221+−=⋅+=+myymmyy从而220+=mmy所以162525)1()45()49(||0202202020202+++=++=++=myymymyyxGH.).)(1(,4]4))[(1(,4))(1(4)()(4||2120221221222122212212yyymyyyymyymyyxxAB−+=−++=−+=−+−=故10/18.0)2(1621716252)1(3)2(251625)1(254||||222222212022++=+++−+=+++=−mmmmmmyymmyABGH所以2||||ABGH.故点)0,49(−G在以AB为直径的圆外。解法二：（1）同解法一.（2）设点),(),,(2211yxByxA，则).,49(),,49(2211yxGByxGA+=+=由=+−=124,122yxmyx得032)2(22=−−+myym，所以,23,22221221+−=⋅+=+myymmyy从而0)2(1621716252252)1(31625)(45)1()45)(45()49)(49(2222222121221212121++=+++++−=++++=+++=+++=⋅mmmmmmyymyymyymymyyyxxGBGA所以.0,cos〉〈GBGA又GBGA,不共线，所以AGB∠为锐角.故点)0,49(−G在以AB为直径的圆外。11/18【点评】本体主要考察了直线与圆锥曲线相交的问题，涉及到数形结合、函数与方程的思想。总体的难度不大，对于平常有练圆锥曲线的题目的学生来说，基本上是能做的出来。实际上，在直线与圆锥曲线的相关问题中，向量、斜率是很好的联系了题目的条件与韦达定理的工具，在看到题目的时候，都应该看看题目所给的条件能否灵活的转化成向量或斜率的等式或者不等式关系，然后再解题。19、已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度。(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x的方程在[0，)内有两个不同的解(i)求实数m的取值范围；(ii)证明：.【解析】（1）将()cosgxx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍得到的图像，再将2cosyx=的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos()2yxπ=−的图像，故从而函数图像的对称轴方程为2xkππ=+21()()2sincos5(sincos)5sin()55