2016北京东城高三一模数学理试卷与解析

2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）2016.4数学（理科）本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知复数i1ia为纯虚数，那么实数a的值为A．1B．0C．1D．22．集合|Axxa≤，2|50Bxxx，若ABB，则a的取值范围是A．5a≥B．4a≥C．5aD．4a3．某单位共有职工150名，某中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为A．9，18，3B．10，15，5C．10，17，3D．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S值为A．12B．1C．2D．45．在极坐标系中，直线sincos1被曲线1截得的线段长为A．12B．22C．1D．22016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：101088996．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为A．2B．22C．3D．107．已知三点52P，，160F，，260F，，那么以1F，2F为焦点且过点P的椭圆的短轴长为A．3B．6C．9D．128．已知1e，2e为平面上的单位向量，1e与2e的起点均为坐标原点O，1e与2e的夹角为π3，平面区域D由所有满足12OPee的点P组成，其中100≤≥≥那么平面区域D的面积为A．12B．3C．32D．34第Ⅰ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．在5124xx的展开式中，3x项的系数为．（用数字作答）10．已知等比数列na中，22a，3432aa，那么8a的值为．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P．若CPAC，则COA；AP．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889912．若π3sin45，且π04a，，则sin2的值为．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20108乙102010运输限制110100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为．14．已知函数()lnfxx，关于x的不等式00()()()fxfxcxx≥的解集为(0)，，c为常数．当01x时，c的取值范围是；当012x时，c的值是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题共13分）在ABC△中，22BC，2AC，且2cos()2AB．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若()sin(2)fxxC，求()yfx与直线32y相邻交点间的最小距离．16．（本小题共14分）已知三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC，90BAC，11AA，3AB，2AC，E，F分别为棱1CC，BC的中点．（1）求证：1ACAB；（2）求直线EF与1AB所成的角；（3）若G为线段1AA的中点，1A在平面EFG内的射影为H，求1HAA．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889917．（本小题共13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打且只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（1）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（2）设随机变量X表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X的数学期望；（3）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．（本小题共14分）设函数()e1xfxax，aR．（1）当1a时，求()fx的单调区间；（2）当(0)x，时，()0fx恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当(0)x，时，e1ln2xxx．19．（本小题共13分）已知抛物线2:20Cypxp，其焦点为FO，为坐标原点，直线AB（不垂直于x轴）过点F且抛物线C交于AB，两点，直线OA与OB的斜率之积为p．（1）求抛物线C的方程；（2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：2ODOM．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889920．（本小题共13分）数列na中，给定正整数1111miiimmVmaa，．定义：数列na满足1121iiaaim，，，≤，称数列na的前m项单调不增．（1）若数列na的通项公式为*1nnanN，，求5V．（2）若数列na满足：*11maaabmmabN，，，，，求证：Vmab的充分必要条件是数列na的前m项单调不增．（3）给定正整数1mm，若数列na满足：0na≥，12nm，，，，且数列na的前m项和为2m，求Vm的最大值与最小值．（写出答案即可）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（试卷为手动录入，难免存在细微差错，如您发现试卷中的问题，敬请谅解！转载请注明出处！）2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899北京市东城区高三年级第一次综合练习解析学而思高考研究中心－曲丹、唐云、王欣研、杜鹏、张剑、武洪姣1．B【解析】i1iiaa，当0a时，复数为纯虚数2．A【解析】25005Bxxxxx，ABB说明B是A的子集，故5a≥3．A【解析】高级职称、中级职称和初级职称的人数之比为3:6:1，所以抽取高级职称人数为330910，中级职称人数为6301810，初级职称人数为1303104．C【解析】0,0,ks0214,2,14ksk;1214,2,22ksk;224,21,3ksk;324,22,4ksk;4k≥,输出s.所以2s.5．D【解析】直线sincos1对应的直角坐标系下方程为1yx，曲线1对应的直角坐标系下的方程为221xy，即221xy，则圆221xy被直线1yx所截得的弦长即为所求线段长，该弦长为2.6．C【解析】几何体如下图四棱锥ABCDE，其中2,2,1,2,AEDEBCBEAEBE，,AEDEBECB，222222,22,ABAEBEADAEDE22225,3CDCBBEACBCAB，即最长棱3AC.2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：101088997．B【解析】因为点5,2P在椭圆上，所以122PFPFa即215,55PFPF，所以265a，35,6ac，29,36bbb，28．D【解析】设1OAe，2OBe，则OPOAOB1，时0≥，0≥表示点P在线段AB上。所以1≤，0≥，0≥表示点P在正三角形OAB边缘及内部,故平面区域是以1为边长的正三角形，面积为349．20【解析】553521551C2C24rrrrrrrTxxx,所以令523r，1r，所以531255C2C220rr10．128【解析】3425aaaa，所以516a，有因为2528aaa，所以8=128a11．π,33【解析】由题意可知OAAP，2AOPCAP因为CPAC，所以CAPCPA2ACOCAP，即AOPACO，AOAC，所以AOC△是等边三角形，π3AOC，πsin33APOP12．725【解析】2πππ187sin2cos2cos212sin()1424252513．62【解析】设甲的件数为x件，乙的件数为y件2010110102010000xyxyxy≤≤≥≥，即21121000xyxyxy≤≤≥≥，求810zxy的最大值由图可知z的最大值在4,3处取得62z2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889914．1,0，2．【解析】用数形结合法．⑴当01x时，①1x时，不等式即11fxfcx≥，如图⑴，即求lnx上1x时图象上的点与点10，连线的斜率的最小值，易知，当x时，斜率趋近于0，所以0c≤；②1x时，11fxfcx≤，同理，求lnx上1x时图象上的点与点10，连线的斜率的最大值，由lnx的图象性质可知，当1x时，斜率变大，1lnxx，所以lnx在点10，处的切线1l斜率为1，于是1c≥．因此，01x时，c的取值范围为10，．⑴⑵⑵当012x时，①12x时，1212fxfcx≥，如图⑵，求lnx上12x时图象上的点与点11ln22，连线的斜率的最小值，当12x时，斜率趋近于最小值，lnx在点11ln22，处的切线2l斜率为2，所以2c≤；②12x时，同理可得2c≥．综上，可得2c．15.【解析】⑴∵2coscosπcos2CABAB，∴45C.∵22BC，2AC，∴222222cos22282cos454ABACBCACBCC.∴2AB.7分2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899⑵由π3sin242fxx，解得ππ22π43xk或π2π22π43xk，kZ，解得11ππ24xk或225ππ24xk，1k，2kZ.因为1221πππ66xxkk≥，当12kk时取等号，所以当32fx时，相邻两交点间最小的距离为π6.13分16．【解析】⑴因为三棱柱111ABCABC，1AA底面ABC，所以1ACAA.因为90BAC，所以ACAB.因为1AAABA∩，所以AC平面11AABB.因为1AB⊂平面11AABB，所以1ACAB.4分⑵如图建立空间直角坐标系Axyz，则1(001)A，，，300B，，，1022E，，，3102F，，．所以1301AB，，，31122EF，，．所以1112cos2ABEFABEFABEF，．因为1090ABEF，≤，所以直线EF与1AB所成的角为45．9分⑶设1002G，，，则(020)GE，，，31122GF，，．AH所在直线的向量与平面GEF的法向量平行．设平面GEF的法向量为()nxyz，，，因为nGEnGF，，所以20310.22yxyz