2016年北京朝阳区高三一模数学理试卷答案与解析

2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899北京市朝阳区高三年级第一次综合练习解析学而思高考研究中心－武洪姣、曲丹、王欣研、唐云、杜鹏、张剑、成文波、邓一维、林原田、王宏斌、赵铭雪1．D【解析】222i2i(1i)2i2i2i2i11i(1i)(1i)1i2，故选D2．D【解析】∵函数ln(1)yx的定义域1Mxx2001Nxxxxx，又RU∴C10UNxxx≥≤或∴MN故A，C错误，CUMNM，故B错误，CUMN，故选D．3．A【解析】由ab知0ab≥，∴eeab由eeab知ab，但是a，b取负值时，a和b无意义．∴“ab”是“eeab”的充分不必要条件4．B【解析】i1，1S，i42113S，i112，i4；2328S，i213，i4；28319S，i314，i4≥．∴19S5．C【解析】由余弦定理知2222cosacbacB∴222sintan32cos3cosBacbBacacBacB∴3sin2B∴π3B或2π3．6．D【解析】A、B、C均正确D：前6个月的平均收入为406030305060456万元．7．A【解析】三棱锥如图所示，1CD，2BC，CDBC⊥且1ABCDh2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899底面积11212BCDS∴11111333ABCDBCDABCDVSh∴选A8．C【解析】只需求圆心01，到曲线11yx上的点的最短距离，取曲线上的点11aa，，1a距离22111daa2212121211aaaa211121411aaaa211131aa3≥所以，若圆与曲线无公共点，则03r．9．10【解析】521xx展开式的每一项为521021035551CCCrrrrrrrrxxxxx令10342rr∴4x的系数为25C10．10．21n【解析】∵11a，47a，∴4123aad∴na通项公式为1112121naandnn2610410241032nnaaaaaan…232410132411342333nnnnnn．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889911．π24，【解析】将2C方程2xtyt代入1C方程得2222tt解得1t∴1x，1y故极坐标为π24，．12．34，【解析】如图所示，直线1yax过点A10，且该直线过图中B点时为临界条件，并且当其斜率小于AB斜率时均与区域D有公共点．B点坐标由0xy和290xy联立得33B，∴33314ABk即34a≤时均满足条件．故a的取值范围为34，．13．304，【解析】法一：如图所示，点M在ABC△内部（不含边界）则14AMABAD为一临界条件，此时0n，又M不在边界上∴0n．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899过D点作平行于AC的直线，并交BC于F点，则DFAE，此时，AEnAC，M点与F点重合，为另一临界条件．∵14ADAB，∴34AEDFAC，即34n，又M不在边界上，∴34n．综上，n的取值范围为304，．法二：根据平面基本定理，当114n时，M点在直线BC上，又点M在ABC△内部，∴0n，且114n，即34n综上，n的取值范围为304，．14．11221212ababab，22．【解析】设第三个学生为1212Cccc，，，，iiiiiiidabbcca，112i≤≤因为id的奇偶性和0iiiiiiabbcca一样，所以id为偶数．3名学生两两不同能力特征项数总和为1212sddd为偶数，又7321s≥，所以22s≥．取011011011011A，，，，，，，，，，，，101101101101B，，，，，，，，，，，，110110110111C，，，，，，，，，，，，则不同能力特征项数总和恰为22，所以最小值为22．15.【解析】由1333sincos2222fxxxπsin3x⑴当1时，πsin3fxx求fx单调增区间，只需πππ2π2π232kxkkZ≤≤解得5ππ2π2π66kxkkZ≤≤故fx的单调递增区间5ππ2π2π66kkkZ，⑵πππsin1333f所以，πππ2π332k（kZ且0k≥）即162k由2πT知，2π0162TkkkZ，≥2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899则max4πT，故fx的最小正周期T的最大值为4π16．【解析】⑴两名学生阅读名著本数之和为4的概率是134134712812812896⑵x的所有可能取值为0，1，2，3，44448C10C70PX；134448CC161C70PX；224448CC362C70PX314448CC163C70PX；4448C14C70PX随机变量X的分布列为：X01234P17016703670167017011636161012347070707070EX2⑶2212SS17.【解析】⑴∵11AACC为直角梯形，∴111ACAA又∵面11AACC面11AABB且面11AACC面111AABBAA，111ACAA∴11AC面11AABBAP面11AABB∴11ACAP⑵∵AC面11AABB，∴1AA，AC，AB两两垂直，故以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴建立空间直角坐标系Oxyz设面AMP的法向量为nxyz，，，3012AP，，，110AM，，300200nAPyznAMxy∴3112n，，∵1AA面ABC．∴面ABC的法向量为1002AA，，113317cos171722AAnAAn故二面角PAMB的余弦值为317172016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899⑶存在点P，且12BPPB时，有1AC∥平面AMP证明如下：设1BPBB,000,Pyz，00,0,20,1,2zy，所以,20,2P202AC，，，110AM，，，,20,2AP设平面AMP的法向量为vxyz，，．0220xyxz，2112v，，又10vAC解得218.【解析】()lnfxxax，Ra⑴()fx的定义域0xx()1axafxxx①当0a≥时，()0fx．此时()fx在定义域上是增函数②0a时，令()0fx．则xa．x(0)a，a()a，()fx-0+()fx极小值综上所述当0a≥时()fx在(0)，上是增函数；当0a时()fx在(0)a，上是减函数.⑵当[1,2]x时0fx恒成立，即ln0xax恒成立lnxax21lnlnlnxxFxFxxx[1,2]x0Fx函数Fx单调递减，min22,ln2F2ln2a⑶设过P点与曲线相切的切点为00xy，则01akx∴切线方程为0000xayyxxx将13，代入得：000003ln1xaxaxxx整理得000ln20axxaxa00ln20aaxax令ln2agxaxax211aaagxxxxx①当0a时，2gx不存在直线与曲线yfx相切2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899②当0a时，gx在01，是减函数，在1，上是增函数且1220gaa，当0a时，存在0t使得32e1tttaa即(e)(e1)20ttgat恒成立此时，存在0etx且0(01)x，时，0()0gx故0()(1)0gxg∴()gx在(01)，上有且仅有一个零点同理，存在01x时，0()0gx∴()gx在(1)，上有且仅有一个零点∴gx在0，上有2个零点即直线与曲线有2条切线③当0a时，gx在01，是增函数，在1，上是减函数且1220gaa，此时无零点综上所述：当0a时，过P有2条直线与曲线相切.当0a≤时，不存在过P的直线与曲线相切．19.【解析】⑴由题意，在椭圆22142xy中，2a，2b，2c．∴120F，，220F，又∵21P，在椭圆上．∴12PFF△的周长22422Cac．22cea⑵设11Axy，，22Bxy，为直线l与椭圆相交的两点．由题意222214222402222xymxmxmyx216044mm，1222mxx21224mxx要证PMPN只需证0PAPBkk则：121211022yyxx2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：101088991221122212122222022mmxxxxxx即1212222202mxxxxm左边22222222422mmmm222222222244mmmm0右边∴无论m为何值，PMPN20．【解析】⑴（i）设数列nb公比为q，则22231222kabkq，于是2*232231312kkbbqaqkN，所以2k为奇数，又21k，则23k≥，从而231331422kq≥．当4q时，28b，332b，4128b．（ii）nb是首项为2公比为4的等比数列，所以124nnb，*nN．由13124nnnknbak，解得12413nnk．⑵令31qk，123k，，，取nb是首项为5公比为q的等比数列，则1531nnbk．只需证明，*nN，存在*mN，使得31nbm即可．由153131nnbkm，得153113nkm，只需证明153113nkm是正整数即可．2n≥时，11