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第1页（共24页）2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高三（上）第二次月考数学试卷一、选择题1．（3分）已知x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．[﹣1，1]C．D．2．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，则下列不等式一定不成立的是（）A．B．f（sin1）＜f（cos1）C．D．f（sin2）＜f（cos2）3．（3分）若函数f（x）=恰有4个零点，则m的取值范围为（）A．[﹣，﹣]∪（，]B．（﹣，﹣]∪（﹣，﹣]∪（，]C．[﹣，﹣）∪[，）D．[﹣，﹣）∪[﹣，﹣）∪[，）4．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，，等边△EFG三个顶点分别在△AOB的三边上运动，则△EFG面积的最小值为（）第2页（共24页）A．B．C．D．5．（3分）函数f（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．（3分）已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足，那么的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（﹣1，2]C．[﹣2，0）D．[0，2]7．（3分）以方程x2+px+1=0的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p的取值范围是（）A．p＜﹣2B．p≤﹣2或p≥2C．D．8．（3分）的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，2]D．[0，2]9．（3分）已知函数f（x），则方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数不可能为（）A．3B．4C．5D．610．（3分）设A，B是椭圆C：=1长轴的两个端点，若C上存在点P满足∠APB=120°，则k的取值范围是（）A．（0，]∪[12，+∞）B．（0，]∪[6，+∞）C．（0，]∪[12，+∞）D．（0，]∪[6，+∞）11．（3分）已知函数f（x）=（2x﹣1）ex+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（]12．（3分）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知第3页（共24页）正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+++…+=（）A．B．C．D．二、填空题13．（3分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为减函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．14．（3分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）若函数f（x）在x=1处有极值10，则b的值为．15．（3分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=lg|x|，则F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[﹣5，5]的零点有个．16．（3分）已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于Q点，过Q作QD⊥MF于点D，若|MD|=2|FN|，则|MF|=．三、解答题17．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线l垂直于直线y=x，求实数a的值及直线l的方程；（2）求函数f（x）的单调区间；第4页（共24页）（3）若x＞1，求证：lnx＜x﹣1．18．在直角坐标系xOy中，已知定圆M：（x+1）2+y2=36，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值．19．己知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，线段m的垂直平分线交线段MC于点N，设点N的轨迹为曲线E．（I）求曲线£的方程：（II）若经过F（0，2）的直线L交曲线E于不同的两点G，H（点G点F，H之间），且满足，求直线L的方程．20．已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2（1）若对任意的x1，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围；（2）若对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），求m的取值范围．第5页（共24页）2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．[﹣1，1]C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图，由z=x﹣y，得y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A（﹣1，0）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小为z=﹣1．当直线y=x﹣z与圆在第四象限相切时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由d==1，解得z=或﹣（舍），故﹣1≤z≤，故选：D．第6页（共24页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握直线和圆的位置关系的应用．2．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，则下列不等式一定不成立的是（）A．B．f（sin1）＜f（cos1）C．D．f（sin2）＜f（cos2）【分析】根据周期得出f（x）在[﹣1，1]上的单调性与奇偶性，再利用三角函数的性质判断各选项．【解答】解：∵（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2，∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2﹣|x|=，∴f（x）在[﹣1，1]上是偶函数，且在[﹣1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，∵1＞cos＞sin＞0，∴f（cos）＜f（sin），故A错误；∵＜1，∴1＞sin1＞cos1＞0，∴f（sin1）＜f（cos1），故B正确；∵cos=﹣，sin=，∴f（cos）＞f（sin），故C正确；∵，∴1＞sin2＞|cos2|＞0，∴f（sin2）＜f（cos2），故D正确．故选A．【点评】本题考查了函数周期性的应用，三角函数的性质，属于中档题．第7页（共24页）3．（3分）若函数f（x）=恰有4个零点，则m的取值范围为（）A．[﹣，﹣]∪（，]B．（﹣，﹣]∪（﹣，﹣]∪（，]C．[﹣，﹣）∪[，）D．[﹣，﹣）∪[﹣，﹣）∪[，）【分析】设g（x）=sin（2x﹣），h（x）=cos（2x﹣），作出这两个函数在[﹣π，]上的图象，求出零点，通过图象即可得到所求m的范围．【解答】解：设g（x）=sin（2x﹣），h（x）=cos（2x﹣），作出这两个函数在[﹣π，]上的图象，如图所示：g（x）在[﹣π，]上的零点为﹣，﹣，；h（x）在[﹣π，]上的零点为﹣，﹣，．f（x）恰有4个零点，由图象可得m∈（﹣，﹣]∪（﹣，﹣]∪（，]．故选：B．【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，考查观察和判断能力，属于中档题．第8页（共24页）4．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，，等边△EFG三个顶点分别在△AOB的三边上运动，则△EFG面积的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设等边三角形的边长为t，结合几何关系得到面积函数，结合三角函数的性质即可求得面积的最小值．【解答】解：设△EFG的边长为t，∠OEF=θ，则∠AGE=θ，∠EAO=60°，OE=tcosθ，，∴，所以，且：，其中，当sin（θ+φ）=1时，△EFG取得面积的最小值．故选：D．【点评】本题考查了三角形中的几何关系，三角函数的性质及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．（3分）函数f（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数．画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如图），根据图象可得答案．第9页（共24页）【解答】解：函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数．画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如图），根据图象可得函数f（x）与函数y=log4x的图象交点为5个．∴函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为5个．故选：D【点评】本题主要考查函数零点的个数的判断，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．6．（3分）已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足，那么的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（﹣1，2]C．[﹣2，0）D．[0，2]【分析】根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决．【解答】解：∵，∴•=1×（﹣）+×1=0，∴⊥，∴凸四边形ABCD的面积为AC×BD=×2×2=2，设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2﹣x，BO=2﹣y，则•=（+）（+）=•+•+•+•2﹣=x（x﹣2）第10页（共24页）+y（y﹣2）=（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2，（0＜x，y＜2）；∴当x=y=1时，•=﹣2为最小值，当x→0或1，y→0或1时，•接近最大值0，∴•的取值范围是[﹣2，0）．故选：C．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式，属于中档题．7．（3分）以方程x2+px+1=0的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p的取值范围是（）A．p＜﹣2B．p≤﹣2或p≥2C．D．【分析】先根据方程有两个实数根求出p的取值范围，再根据韦达定理求出x1+x2及x1x2的值，根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：∵三角形的两边长是方程x2+px+1=0的两个根，∴△≥0，即△=p2﹣4≥0，解得p≥2或p≤﹣2．∵x1+x2=﹣p＞2，x1x2=1，|x1﹣x2|＜2，故p＜﹣2，p2＜8，∴﹣2＜p＜﹣2，故选：D．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式△的关系是解答此题的关键．第11页（共24页）8．（3分）的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣1，2]D．[0，2]【分析】令t=2ax2+4x+a﹣1，则y=，由函数y的值域为[0，+∞），则函数t的值域为[0，+∞），然后分类讨论，当a=0时，函数t的值域为[0，+∞），当a≠0时，要使函数t=2ax2+4x+a﹣1的值域为[0，+∞），则，求解即可得a的取值范围．【解答】解：令t=2ax2+4x+a﹣1，则y=，∵函数的值域为[0，+∞），∴函数t=2ax2+4x+a﹣1的值域为[0，+∞），当a=0时，t=4x﹣1，由4x﹣1≥0，得函数t=4x﹣1的值域为[0，+∞），当a≠0时，要使函数t=2ax2+4x+a﹣1的值域为[0，+∞），则，即，解得0＜a≤2，∴a的取值范围是[0，2]．故选：D．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于中档题．9．（3分）已知函数f（x），则方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数不可能为（）A．3B．4C．5D．6【分析】作函数f（x）的图象，结合图象分析根的个数．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵2x2+x=2（x+）2﹣；第12页（共24页）故当a=f（﹣）时，方程f（2x2+x）=a有一个负根﹣，再由|lg（2x2+x）|=f（﹣）得，2x2+x=10f（﹣），及2x2+x=10﹣f（﹣），故还有四个解，故共有5个解