2018届高三数学文科二轮复习专题检测选修45不等式选讲

第1页共5页专题检测（十八）选修4-5不等式选讲1．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|－12x(a0)．(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)0；(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)a2＋a2恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－12x，即|x－3|－12x0，原不等式等价于－12xx－312x，解得2x6，故不等式的解集为{x|2x6}．(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋a2，原不等式等价于|x－a|－|x|a2，由三角绝对值不等式的性质，得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|，原不等式等价于|a|a2.又a0，∴aa2，解得a1.故实数a的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1，1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．3．(2017·石家庄质检)设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m.第2页共5页(1)作出函数f(x)的图象；(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．解：(1)f(x)＝x＋2，x≤－12，－3x，－12x1，－x－2，x≥1，画出图象如图所示．(2)由(1)知m＝32.∵32＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，∴ab＋2bc≤34，∴ab＋2bc的最大值为34，当且仅当a＝b＝c＝12时，等号成立．4．(2017·宝鸡质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解：(1)由||x－1|＋2|5，得－5|x－1|＋25，∴－7|x－1|3，得不等式的解集为{x|－2x4}．(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．5．(2017·东北四市高考模拟)已知a0，b0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1.(1)证明：2a＋b＝2；(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．解：(1)证明：因为－ab2，第3页共5页所以f(x)＝－3x－a＋b，x≤－a，－x＋a＋b，－axb2，3x＋a－b，x≥b2，显然f(x)在－∞，b2上单调递减，在b2，＋∞上单调递增，所以f(x)的最小值为fb2＝a＋b2，所以a＋b2＝1，即2a＋b＝2.(2)因为a＋2b≥tab恒成立，所以a＋2bab≥t恒成立．因为a＋2bab＝1b＋2a＝121b＋2a(2a＋b)＝125＋2ab＋2ba≥125＋22ab·2ba＝92.当且仅当a＝b＝23时，a＋2bab取得最小值92，所以t≤92，即实数t的最大值为92.6．(2017·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝1＋x2.(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.解：(1)∵f(x)＝|x－1|＋|x－5|≥|x－1－x＋5|＝4，∴f(x)min＝4.(2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，又g(x)＝x2＋10，a2＋b2＝6，∴0g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a2＝b2＝3时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.7．(2017·太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋12a(a≠0)．(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a12时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝|x－a|＋12a，第4页共5页∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋12a，∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|x－a－x－m＋a|＝|m|，∴|m|≤1，即－1≤m≤1，∴实数m的最大值为1.(2)当a12时，g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋12a＝－3x＋a＋12a＋1，xa，－x－a＋12a＋1，a≤x≤12，3x－a＋12a－1，x12，∴g(x)在－∞，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增．又函数g(x)有零点，∴g(x)min＝g12＝12－a＋12a＝－2a2＋a＋12a≤0，∴0a12，－2a2＋a＋1≤0或a0，－2a2＋a＋1≥0，解得－12≤a0，∴实数a的取值范围是－12，0.8．(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.(1)求不等式fx＋32≥0的解集；(2)若p，q，r为正实数，且13p＋12q＋1r＝4，求3p＋2q＋r的最小值．解：(1)由fx＋32＝4－x＋32－x－32≥0，得x＋32＋x－32≤4.当x－32时，－x－32－x＋32≤4，解得－2≤x－32；当－32≤x≤32时，x＋32－x＋32≤4恒成立，∴－32≤x≤32；第5页共5页当x32时，x＋32＋x－32≤4，解得32x≤2.综上，fx＋32≥0的解集为[－2,2]．(2)令a1＝3p，a2＝2q，a3＝r.由柯西不等式，得1a12＋1a22＋1a32·(a21＋a22＋a23)≥1a1·a1＋1a2·a2＋1a3·a32＝9，即13p＋12q＋1r(3p＋2q＋r)≥9.∵13p＋12q＋1r＝4，∴3p＋2q＋r≥94，当且仅当13p＝12q＝1r＝43，即p＝14，q＝38，r＝34时，取等号．∴3p＋2q＋r的最小值为94.