2018年天津数学理科高考试题及答案word版历年数学高考试题

海量资源尽在星星文库：参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）4–i（10）52（11）112（12）12（13）14（14）(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．又因为(0π)B，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos7bacacB，故b=7．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为ac，故2cos7A．因此43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123海量资源尽在星星文库：()0123353535357EX．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则0000DCDE，，nn即20220yxz，，不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又MN=（1，32，1），可得00MNn，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）解：依题意，可得BC=（–1，0，0），(122)BE，，，CF=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则00BCBE，，nn即0220xxyz，，不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．海量资源尽在星星文库：=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则00BCBF，，mm即020xyz，，不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cosm，n=310||||10mnmn，于是sinm，n=1010．所以，二面角E–BC–F的正弦值为1010．（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得(12)BPh，，．易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故22cos5BPDCBPDCBPDCh，由题意，可得225h=sin60°=32，解得h=33∈［0，2］．所以线段DP的长为33.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I）解：设等比数列{}na的公比为q.由1321,2,aaa可得220qq.因为0q，可得2q，故12nna.设等差数列{}nb的公差为d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd从而11,1,bd故.nbn所以数列{}na的通项公式为12nna，数列{}nb的通项公式为.nbn（II）（i）由（I），有122112nnnS，故1112(12)(21)22212nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为海量资源尽在星星文库：()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知2259ca，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，FBa，2ABb，由62FBAB，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为22194xy．（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1y20，故12sinPQAOQyy．又因为2sinyAQOAB，而∠OAB=π4，故22AQy．由52sin4AQAOQPQ，可得5y1=9y2．由方程组22194ykxxy，，消去x，可得12694kyk．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组20ykxxy，，消去x，可得221kyk．由5y1=9y2，可得5（k+1）=2394k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k．所以，k的值为111228或．（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：由已知，()lnxhxaxa，有()lnlnxhxaaa.令()0hx，解得x=0.由a1，可知当x变化时，()hx，()hx的变化情况如下表：海量资源尽在星星文库：(,0)0(0,)()hx0+()hx极小值所以函数()hx的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).（II）证明：由()lnxfxaa，可得曲线()yfx在点11(,())xfx处的切线斜率为1lnxaa.由1()lngxxa，可得曲线()ygx在点22(,())xgx处的切线斜率为21lnxa.因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(ln)1xxaa.两边取以a为底的对数，得212log2logln0axxa，所以122lnln()lnaxgxa.（III）证明：曲线()yfx在点11(,)xxa处的切线l1：111ln()xxyaaaxx.曲线()ygx在点22(,log)axx处的切线l2：2221log()lnayxxxxa.要证明当1eea时，存在直线l，使l是曲线()yfx的切线，也是曲线()ygx的切线，只需证明当1eea时，存在1(,)x，2(0,)x，使得l1和l2重合.学*科网即只需证明当1eea时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaaxaaxa①②有解，由①得1221(ln)xxaa，代入②，得111112lnlnln0lnlnxxaaxaaxaa.③因此，只需证明当1eea时，关于x1的方程③有实数解.设函数12lnln()lnlnlnxxauxaxaaxaa，即要证明当1eea时，函数()yux存在零点.2()1(ln)xuxaxa，可知(,0)x时，()0ux；(0,)x时，()ux单调递减，又(0)10u，21(ln)2110(ln)auaa，故存在唯一的x0，且x00，使得0()0ux，即海量资源尽在星星文库：(ln)0xaxa.由此可得()ux在0(,)x上单调递增，在0(,)x上单调递减.()ux在0xx处取得极大值0()ux.因为1eea，故ln(ln)1a，所以0000002012lnln12lnln22lnln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaauxaxaaxxaaxaaa.下面证明存在实数t，使得()0ut.由（I）可得1lnxaxa，当1lnxa时，有2212lnln12lnln()(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaauxxaxaxaxxaaaa，所以存在实数t，使得()0ut因此，当1eea时，存在1(,)x，使得1()0ux.所以，当1eea时，存在直线l，使l是曲线()yfx的切线，也是曲线()ygx的切线.