2019届天津市南开区高三数学文模拟试题

南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第1页（共9页）2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（文史类）2019.05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·球的表面积公式S球=4R2，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为R，若集合A={x|(x+2)(x–3)≥0}，集合B={x|x＞1}，则(∁RA)∪B=（）．（A）[3，+∞)（B）(1，3]（C）(1，3)（D）(–2，+∞)（2）已知实数x，y满足约束条件5003≥，≥，≤，xyxyx则z=2x+4y的最小值是（）．（A）5（B）–6（C）10（D）–10（3）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）．（A）9≤a＜10（B）9＜a≤10（C）10＜a≤11（D）8＜a≤9南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第2页（共9页）（4）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知a=132，b=21log3，c=121log3，则（）．（A）a＞b＞c（B）a＞c＞b（C）c＞a＞b（D）c＞b＞a（6）设f(x)=sin3x–cos3x，把y=f(x)的图象向左平移（＞0）个单位长度后，恰好得到函数g(x)=–sin3x+cos3x的图象，则的值可以为（）．（A）6（B）4（C）2（D）（7）已知F1，F2分别为双曲线3x2–y2=3a2（a＞0）的左、右焦点，P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为（）．（A）x=–4（B）x=–3（C）x=–2（D）x=–1（8）已知函数f(x)=210110，≤，，，xxxx若关于x的不等式|f(x)–a–12|≤12有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）．（A）[–32，–43)（B）[–12，–13)（C）[–1，–12]（D）[0，3]南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第3页（共9页）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．得分评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。（9）已知复数z=32i1i，i为虚数单位，则|z|2=．（10）已知数列{an}的前n项和为Sn，若n∈N*，an=20–3n，则Sn的最大值为．（11）球O是正方体ABCDA1B1C1D1的外接球，若正方体ABCDA1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则12SS=．（12）已知圆C：(x–3)2+(y+1)2=4与直线l：x+y–2=0交于M，N两点，则|MN|=．（13）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4．若AC•BD=–1，则cos∠BMC=．（14）已知函数f(x)=ex–1ex–2sinx，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)+f(a–3)＜0，则实数a的取值范围为．南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第4页（共9页）三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）得分评卷人（15）（本小题满分13分）下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）．已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（Ⅲ）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．甲队乙队565468876x11702y82080689南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第5页（共9页）得分评卷人（16）（本小题满分13分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若b=3，c=4，C=2B，且a≠b．（Ⅰ）求cosB及a的值；（Ⅱ）求cos(2B+3)的值．南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第6页（共9页）得分评卷人（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；（Ⅲ）直线PB上是否存在一点F，使得PD∥平面ACF，若存在，求出PF的长；若不存在，请说明理由．PECDBA南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第7页（共9页）得分评卷人（18）（本小题满分13分）已知数列{an}的前n项和Sn=–an–(12)n–1+2（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=log2nna，数列{22nncc}的前n项和为Tn，求满足Tn＜2521（n∈N*）的n的最大值．南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第8页（共9页）得分评卷人（19）（本小题满分14分）已知椭圆12222byax（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，直线l：x=2ac与x轴相交于点T，且F是AT的中点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T之间，且N到直线l的距离是M到直线l距离的2倍．①记△NFM，△NFA的面积分别为S1，S2，求12SS；②若原点O到直线TN的距离为204141，求椭圆方程．南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第9页（共9页）得分评卷人（20）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+2（a≠0）在点(–1，f(–1))处的切线的斜率为0．函数g(x)=f(x)+31x3–x–2．（Ⅰ）试用含a的代数式表示b；（Ⅱ）求g(x)的单调区间；（Ⅲ）令a=–1，设函数g(x)在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点A(x1，g(x1))，B(x2，g(x2))，证明：线段AB与曲线g(x)存在异于A，B的公共点．南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第1页（共6页）2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（文史类）参考答案2019.05一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBBACDCA二、填空题：（9）132；（10）57；（11）2；（12）4；（13）171；（14）(–32，1)三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（15）解：（Ⅰ）因为甲代表队的中位数为76，其中已知低于76的有71，71，65，64，高于76的有77，80，82，88，所以x=6；…………1分因为乙代表队的平均数是75，其中少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，超过75的差值为5，11，13，14，和为43，所以y=3．…………3分（Ⅱ）甲队中成绩不低于80的有80，82，88，乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，从中各随机抽取1名，组成数对(甲成绩，乙成绩)，共有(80，80)，(80，86)，(80，88)，(80，89)，(82，80)，(82，86)，(82，88)，(82，89)，(88，80)，(88，86)，(88，88)，(88，89)，共12种，…………7分其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有(80，80)，(82，80)，(88，80)，(88，86)，(88，88)，共5种，…………8分所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率P=512．…………9分（Ⅲ）因为甲的平均数为甲x=110(64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75，所以甲的方差2甲s=110[(64–75)2+(65–75)2+(71–75)2+(71–75)2+(76–75)2+(76–75)2+(77–75)2+(80–75)2+(82–75)2+(88–75)2]=50.2，……11分南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第2页（共6页）又乙的方差2乙s=110[(56–75)2+(68–75)2+(68–75)2+(70–75)2+(72–75)2+(73–75)2+(80–75)2+(86–75)2+(88–75)2+(89–75)2]=100.8，……12分因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．…………13分（16）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理Bbsin=sincC，得3sinB=Csin4，………2分∵C=2B，∴3sinB=4sin2B，即3sinB=42sincosBB，解得cosB=32．…………4分在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2–2accosB，得a2–316a+7=0，解得a=3，或a=37．∵a≠b，∴a=37．…………7分（Ⅱ）∵cosB=32，∴sinB=35，∴sin2B=2sinBcosB=954，cos2B=2cosB2–1=–91，…………11分∴cos(2B+3)=21cos2B–23sin2B=–141518．…………13分（17）解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，∴AC=BC=2，AC⊥BC．…………2分∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PC⊥AC．…………3分又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．…………4分∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…………5分南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第3页（共6页）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，∴AC⊥CP，AC⊥CE，∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角．…………7分∵PC=2，BC=2，∴在△PCB中，可得PE=CE=26，∴cos∠PCE=CECPPECECP2222=36．…………9分（Ⅲ）连接BD交AC于点O，作OF∥PD，交PB于点F，连接AF，CF．∵OF∥PD，PD平面ACF，OF平面ACF，∴PD∥平面ACF．…………11分在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，∴DO=13DB，在△PBD中，OF∥PD，∴PF=13PB=36．………………………13分（18）解：（Ⅰ）在Sn=–an–(12)n–1+2中，令n=1，可得S1=–a1–1+2，即a1=12．…………………1分当n≥2时，Sn–1=–an–1–(12)n–2+2，∴an=Sn–Sn–1=–an+an–1+(12)n–1，…………………3分∴2an=an–1+(12)n–1，即2nan=2n–1an–1+1．…………………4分∵bn=2nan，∴bn=bn–1+1，即当n≥2时，bn–bn–1=1．…………………5分又b1=2a1=1，FOABDCEP南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第4页（共6页）∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．…………………6分于是bn=1+(n–1)·1=n=2nan，∴an=2nn．…………………7分（Ⅱ）∵cn=log2nna=n，……