2019届天津市南开区高三数学文模拟试题

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南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第1页(共9页)2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)2019.05本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上;2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.3.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:·球的表面积公式S球=4R2,其中R表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R,若集合A={x|(x+2)(x–3)≥0},集合B={x|x>1},则(∁RA)∪B=().(A)[3,+∞)(B)(1,3](C)(1,3)(D)(–2,+∞)(2)已知实数x,y满足约束条件5003≥,≥,≤,xyxyx则z=2x+4y的最小值是().(A)5(B)–6(C)10(D)–10(3)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为13,输出S的值是46,则a的取值范围是().(A)9≤a<10(B)9<a≤10(C)10<a≤11(D)8<a≤9南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第2页(共9页)(4)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,p是q的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知a=132,b=21log3,c=121log3,则().(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a(6)设f(x)=sin3x–cos3x,把y=f(x)的图象向左平移(>0)个单位长度后,恰好得到函数g(x)=–sin3x+cos3x的图象,则的值可以为().(A)6(B)4(C)2(D)(7)已知F1,F2分别为双曲线3x2–y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为().(A)x=–4(B)x=–3(C)x=–2(D)x=–1(8)已知函数f(x)=210110,≤,,,xxxx若关于x的不等式|f(x)–a–12|≤12有且仅有两个不同的整数解,则实数a的取值范围是().(A)[–32,–43)(B)[–12,–13)(C)[–1,–12](D)[0,3]南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第3页(共9页)第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;2.本卷共12小题,共110分.得分评卷人二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.请将答案填在题中横线上。(9)已知复数z=32i1i,i为虚数单位,则|z|2=.(10)已知数列{an}的前n项和为Sn,若n∈N*,an=20–3n,则Sn的最大值为.(11)球O是正方体ABCDA1B1C1D1的外接球,若正方体ABCDA1B1C1D1的表面积为S1,球O的表面积为S2,则12SS=.(12)已知圆C:(x–3)2+(y+1)2=4与直线l:x+y–2=0交于M,N两点,则|MN|=.(13)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AC与BD交于点M,AB=2CD=4.若AC•BD=–1,则cos∠BMC=.(14)已知函数f(x)=ex–1ex–2sinx,其中e为自然对数的底数,若f(2a2)+f(a–3)<0,则实数a的取值范围为.南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第4页(共9页)三、解答题:(本大题共6个小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)得分评卷人(15)(本小题满分13分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76,乙代表队数据的平均数是75.(Ⅰ)求x,y的值;(Ⅱ)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;(Ⅲ)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定).甲队乙队565468876x11702y82080689南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第5页(共9页)得分评卷人(16)(本小题满分13分)在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若b=3,c=4,C=2B,且a≠b.(Ⅰ)求cosB及a的值;(Ⅱ)求cos(2B+3)的值.南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第6页(共9页)得分评卷人(17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PC=AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(Ⅰ)求证:平面EAC⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角P-AC-E的余弦值;(Ⅲ)直线PB上是否存在一点F,使得PD∥平面ACF,若存在,求出PF的长;若不存在,请说明理由.PECDBA南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第7页(共9页)得分评卷人(18)(本小题满分13分)已知数列{an}的前n项和Sn=–an–(12)n–1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=log2nna,数列{22nncc}的前n项和为Tn,求满足Tn<2521(n∈N*)的n的最大值.南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第8页(共9页)得分评卷人(19)(本小题满分14分)已知椭圆12222byax(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),直线l:x=2ac与x轴相交于点T,且F是AT的中点.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)过点T的直线与椭圆相交于M,N两点,M,N都在x轴上方,并且M在N,T之间,且N到直线l的距离是M到直线l距离的2倍.①记△NFM,△NFA的面积分别为S1,S2,求12SS;②若原点O到直线TN的距离为204141,求椭圆方程.南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)第9页(共9页)得分评卷人(20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+2(a≠0)在点(–1,f(–1))处的切线的斜率为0.函数g(x)=f(x)+31x3–x–2.(Ⅰ)试用含a的代数式表示b;(Ⅱ)求g(x)的单调区间;(Ⅲ)令a=–1,设函数g(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)),证明:线段AB与曲线g(x)存在异于A,B的公共点.南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案(文史类)第1页(共6页)2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷(文史类)参考答案2019.05一、选择题:题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案DBBACDCA二、填空题:(9)132;(10)57;(11)2;(12)4;(13)171;(14)(–32,1)三、解答题:(其他正确解法请比照给分)(15)解:(Ⅰ)因为甲代表队的中位数为76,其中已知低于76的有71,71,65,64,高于76的有77,80,82,88,所以x=6;…………1分因为乙代表队的平均数是75,其中少于75的差值为3,5,7,7,19,和为41,超过75的差值为5,11,13,14,和为43,所以y=3.…………3分(Ⅱ)甲队中成绩不低于80的有80,82,88,乙队中成绩不低于80的有80,86,88,89,从中各随机抽取1名,组成数对(甲成绩,乙成绩),共有(80,80),(80,86),(80,88),(80,89),(82,80),(82,86),(82,88),(82,89),(88,80),(88,86),(88,88),(88,89),共12种,…………7分其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有(80,80),(82,80),(88,80),(88,86),(88,88),共5种,…………8分所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率P=512.…………9分(Ⅲ)因为甲的平均数为甲x=110(64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75,所以甲的方差2甲s=110[(64–75)2+(65–75)2+(71–75)2+(71–75)2+(76–75)2+(76–75)2+(77–75)2+(80–75)2+(82–75)2+(88–75)2]=50.2,……11分南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案(文史类)第2页(共6页)又乙的方差2乙s=110[(56–75)2+(68–75)2+(68–75)2+(70–75)2+(72–75)2+(73–75)2+(80–75)2+(86–75)2+(88–75)2+(89–75)2]=100.8,……12分因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定.…………13分(16)解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理Bbsin=sincC,得3sinB=Csin4,………2分∵C=2B,∴3sinB=4sin2B,即3sinB=42sincosBB,解得cosB=32.…………4分在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2–2accosB,得a2–316a+7=0,解得a=3,或a=37.∵a≠b,∴a=37.…………7分(Ⅱ)∵cosB=32,∴sinB=35,∴sin2B=2sinBcosB=954,cos2B=2cosB2–1=–91,…………11分∴cos(2B+3)=21cos2B–23sin2B=–141518.…………13分(17)解:(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,∴AC=BC=2,AC⊥BC.…………2分∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PC⊥AC.…………3分又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.…………4分∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.…………5分南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案(文史类)第3页(共6页)(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC⊥平面PBC,∴AC⊥CP,AC⊥CE,∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角.…………7分∵PC=2,BC=2,∴在△PCB中,可得PE=CE=26,∴cos∠PCE=CECPPECECP2222=36.…………9分(Ⅲ)连接BD交AC于点O,作OF∥PD,交PB于点F,连接AF,CF.∵OF∥PD,PD平面ACF,OF平面ACF,∴PD∥平面ACF.…………11分在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,∴DO=13DB,在△PBD中,OF∥PD,∴PF=13PB=36.………………………13分(18)解:(Ⅰ)在Sn=–an–(12)n–1+2中,令n=1,可得S1=–a1–1+2,即a1=12.…………………1分当n≥2时,Sn–1=–an–1–(12)n–2+2,∴an=Sn–Sn–1=–an+an–1+(12)n–1,…………………3分∴2an=an–1+(12)n–1,即2nan=2n–1an–1+1.…………………4分∵bn=2nan,∴bn=bn–1+1,即当n≥2时,bn–bn–1=1.…………………5分又b1=2a1=1,FOABDCEP南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案(文史类)第4页(共6页)∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.…………………6分于是bn=1+(n–1)·1=n=2nan,∴an=2nn.…………………7分(Ⅱ)∵cn=log2nna=n,……
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