2019届山东省烟台市高三数学理科一模试题答案及解析

海量资源尽在星星文库：届山东省烟台市高三数学（理科）一模试题答案及解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1+iD．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁RM）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁RM＝{x|x≤1}；∴（∁RM）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，∴利用对立事件概率计算公式得：海量资源尽在星星文库：＝1﹣＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b＞a＞0时，成立，反之当b＜0，a＞0时，满足，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP|＝，∴sinθ＝．则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）海量资源尽在星星文库：．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，海量资源尽在星星文库：＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．海量资源尽在星星文库：故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，海量资源尽在星星文库：﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．海量资源尽在星星文库：【解答】解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣2x）＝﹣（ex﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝ex+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，海量资源尽在星星文库：＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，海量资源尽在星星文库：属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sinAsinB＝sinBcosA，结合sinB＞0，可求tanA＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．海量资源尽在星星文库：【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sinAsinB＝sinBcosA，∵sinB＞0，∴sinA＝cosA，可得：tanA＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解海量资源尽在星星文库：【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与