大学普通物理力学小结

主讲：姜贵君（一）基本物理量：一、运动学：ddddddddxyzrxyzijkijkttttkajaiaktjtittazyxzyxddddddddkzjyixr12rrrxiyjzk(二)运动方程直角坐标系中ktzjtyitxtr)()()()(分量表示)(txx)(tyy)(tzz消去t，得到轨道方程f(x,y,z)=0（三）圆周运动：1.物理量2.线量和角量的关系3.匀角加速转动公式角速度角加速度ddt22ddddtt2tnrarar020220122tttddtat2nar二、动力学1.牛顿第一定律：cvF02.牛顿第二定律：ddddvpFmamtt通常应用其分量形式xxmaFyymaFddtvFmtRvmFn23.牛顿第三定律：2112FF（一）牛顿三定律（二）动量定理与动量守恒定律1.动量：vmp2.动量定理：合外力的冲量等于物体动量的增量。ddddpFpFtt微分式00dtIFtpp积分式3.动量守恒定律：当质点系不受外力作用或所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变。恒矢量iivm0外iF（三）功和能1.功：功是力的空间累积效应，功是过程量。ddcosbbaaWFrFrddd()bxyzaWFxFyFz保守力的功d0Fr2.机械能：与物体相对位置和速度有关的状态量。(1)动能221mvEk(2)势能212pEkx弹性势能0dMMprFEpp0p)(EEEW保守力3、功、能关系(1)动能定理220011d22kkWFrEEmvmv)()(0初末非保内保内外kkEE(2)机械能守恒定律00()kpWWEEEEC外非保内或注意:（二）转动定律ddJMJt（）J和M必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩。若同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出。iiiMJ三、刚体力学（一）刚体的运动刚体的运动形式：平动、转动。（三）转动惯量刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、质量的分布以及转轴的位置有关。计算转动惯量的方法：1.已知质量分布，由公式求转动惯量：2.已知两轴间距离，用平行轴定理求解：2mdJJciiirmJ22dJrm3.已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，由叠加法求解：iiJJ2()iiiJmr不连续2d()Jrm连续（四）刚体力学中的功和能1.力矩的功：21dMW2.刚体转动动能定理：21220011d=22WMJJ3.机械能守恒定律：只有保守内力作功时，系统动能与势能之和为常量。常量cmghJmE222121（五）刚体角动量和角动量守恒定律1.角动量:LJL与同向2.角动量定理:112221dJJtMtt3.角动量守恒定律:当刚体(系统)所受外力矩为零时或时间极短，则刚体(系统)对此轴的总角动量为恒量。00iiMtJ或恒量质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动速度加速度trddvtvdda角速度角加速度tddddt质量m转动惯量动量角动量mrJd2JLvmP力力矩FM冲量矩0ttdMt冲量0ttdFtvo'ompTR圆锥摆子弹击入杆ov以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.vo子弹击入沙袋细绳质量不计＊＊例1一质量为M半径为R的转台，以角速度a转动,转轴的摩擦不计。1)有一质量为m的蜘蛛垂直地落在转台边缘上，求此时转台的角速度b;2)如果蜘蛛随后慢慢地爬向转台中心，当它离转台中心距离为r时,转台的角速度c为多少？解:aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J22111002120100）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J22220022202002212）aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J22111002120100）aabbamMMJJJmRJMRJ)JJ(J22111002120100）aaccamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J22220022202002212）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJ)JJ(J22220022202002212）例：2一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求:（1）碰撞后系统的角速度（2）碰撞后杆子能上摆的最大角度。θLmML43v解：（1)碰撞过程角动量守恒)JJ(LmvMm43243)L(mJm231MLJM223491163mvLmLMLθLmML43v（2)上摆过程机械能守恒，得：)cos1(2)cos1(43)(212LMgLmgJJmM22max932cos13191()()42163mvarcmMmMgL注意：橡皮泥和杆子的零势点取得不同。例3如图,质量为m的粘土块从距匀质圆盘h处落下,盘的质量M=2m,=60°,盘心为光滑轴。求（1）碰撞后瞬间盘的0；（2）P转到x轴时盘的，。解：（1）m下落到P点前一瞬间有221mvmghghv2得碰撞时间极短，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对o的力矩可忽略，角动量守恒：0JcosmvRxyohmMPR222221mRmRMRJ022cos24ghghRRxyohmMPR（2）对m+盘+地球系统，只有重力做功，机械能守恒。2022121JJsinmgR令x轴为零势面,则：221cossin(43)222ghgghRRRR222MmgRgJmRR22mRJ解：由角动量守恒摩擦力矩作负功，有机械能损失。例4两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为1、2，求：1)对接后共同的角速度;2)对接过程中的机械能损失。)(212211JJJJ212211JJJJ)2121()(21222211221JJJJE)(2)(2122121JJJJωJ2J1ω1ω2例5人和转盘的转动惯量为J0,哑铃的质量为m,初始转速为ω1。求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。r2r1mmJ0ω1解：由角动量守恒22201210)2()2(mrJmrJ12202102)2()2(mrJmrJ0)122()2(21)2(21)2(21220210212102121022220mrJmrJmrJmrJmrJE非保守内力作正功，机械能增加。例6一转台绕其中心的竖直轴以角速度ω0=πs-1转动，转台对转轴的转动惯量为J0=4.0×10-3kg·m2。今有沙粒以Q=2tg·s-1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r=0.10m，求沙粒下落t=10s时，转台的角速度。解：在0ts内落至台面的沙粒质量为：沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）,则任意时刻系统角动量守恒：t=10s时转台的角速度：32300d210d10kgttmQtttt22320000()(10)JJmrJtr1001023200.81010tJsJr例7如图所示，求系统中物体的加速度。设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M＝15kg，半径为r＝0.1m，在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转,忽略转轴的摩擦，m1物体在光滑水平桌面上。两物体的质量分别为m1＝50kg，m2＝200kg。1m2m1m2mamTgm222amT11解：分别以滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对运用牛顿定律，有对滑轮运用转动定律，有)21(212MrrTrTra联立以上4个方程，得22122009.87.6ms155020022mgaMmm022000cos3cos21123dddd(2)dddd3cos13ddsinsin2223sinsinlmggMJlmlttggllgl（）（）（）例8长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在与水平方向成0夹角的位置，求：1.它由此下摆到与水平位置成角时的角加速度2.此时角速度与的关系。0　解：例9如图，一空心圆环可绕竖直轴OO´自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始角速度为ω0，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？（设环内壁光滑）。ORCBOA解：小球在A、C点对OO´轴的转动惯量为0，在B点处的转动惯量为mR2,对环+小球系统,外力为重力,不产生力矩,角动量守恒：BmRJJ)(2000000CJJ对环+小球+地球系统,机械能守恒，取环心为零势点，有：222020021)(2121BBmvmRJmgRJ得：CBCBvv,,,222000111222CCJmgRJmvmgR＊＊