人教版-高中数学必修5--简单的线性规划问题教案

简单的线性规划问题教学目标：1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.教学重点和难点：求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．教学过程：（一）引入（1）情景某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？请学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】教师打开几何画板，作出平面区域.（2）问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？学生不难列出函数关系式yxz32.师：这是关于变量yx、的一次解析式，从函数的观点看yx、的变化引起z的变化，而yx、是区域内的动点的坐标，对于每一组yx、的值都有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值.填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】（二）实验教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（４，２）时，z=yx32取得最大值14.【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技术条件受限时不失为一个好方法】师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M（3.2,1.2）时方程是1032yx，填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线之间建立起联系------点M的坐标是方程1032yx的解，那么点M就应该在直线1032yx利润最大的实验探究报告单实验目的(1)求yxz32的最大值，使yx，满足约束条件.0,0,124,164,82yxyxyx(2)理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想.进行实验与收集数据(1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;(2)在区域内任取一点M，度量横坐标及纵坐标，计算z=yx32的值，并制表显示在屏幕上;(3)拖动点M在区域内运动，观察度量值z的变化，猜想z取得最大值时点M的位置.同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第2—5列：计数点nxyyx32点的坐标直线的方程直线在y轴上的截距123456猜想与假设_______________________________________________________上，反过来直线1032yx经过点M，当然也就经过平面区域，所以点M的运动就可转化为直线的平移运动。教师拖动直线并跟踪，学生看到直线平移时可以取遍区域内的所有点！这样我们的猜想就非常合乎情理了.然后顺利过渡到直线与平面区域之间的关系.师：由于我们可以将x，y所满足的条件用平面区域表示了，你能否也给利润z=2x+3y作出几何解释呢？学生很自然地联想到上面实验的结果，将等式z=2x+3y视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线，当z取不同的值时可得到一族平行直线.请把你猜想1换一种说法：猜想与假设2_______________________________________________________直线z=yx32经过点（４，２）时，z=yx32取得最大值14.将直线z=yx32改写为332zxy，这时你能把猜想2再换一种说法吗？此时水到渠成.猜想与假设3_______________________________________________________直线332zxy经过点Ｍ时，在y轴上的截距最大，此时z=yx32取得最大值14.最后探究出“z=yx32最值问题可转化为经过可行域的直线332zxy在y轴上的截距的最值问题”来解决，实现其图解的目的.【借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察、分析，从而逐步帮助学生进行有层次的猜想，也为我们的研究提供一种方向，这是新课程积极倡导的合情推理】教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.(三)探究师：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第100页）让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验…，发现结论同样成立.进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大.实验结论_______________________________________________________“目标函数的最值问题可转化直线z=2x+3y与平面区域有公共点时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最大”【从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养】（四）练习小结学生练习Ｐ91第1题.[及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，将求yxz2的最大值转化为直线zxy2与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上]（五）实例展示（课本第88页例5饮食营养搭配）营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?【一是使学生认识到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系】这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.（六）课后伸申师：在上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的，求最优解.这是问题的一方面，另一方面(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定线性约束条件或目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？（七）小结求最优解的一般步骤（板书）：(1)画线性约束条件所确定的平面区域；(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；(3)平移该直线，观察确定区域内最优解的位置；(4)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.作业：第91页练习2，第93页习题3—4.