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第1页（共23页）2016-2017学年上海市华东师大二附中高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题6分，共54分）1．计算：=（i是虚数单位）2．双曲线的渐近线的夹角为．3．在二项式的展开式中，常数项等于．4．设全集U=R，已知，则A∩B=．5．函数的定义域是．6．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为．7．已知等比数列{an}满足a2=2，a3=1，则=．8．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为．9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是．10．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是．11．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是．12．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n∈N*），从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+…+Tn，例如第2页（共23页）当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出Sn=．二、选择题（每小题5分，共20分）13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜abB．﹣ab＜﹣b2C．D．14．已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）A．B．y=log2|x|C．D．y=cos（2x）15．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2C．1+D．216．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：第3页（共23页）①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．已知命题P：函数且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x2+（a+2）第4页（共23页）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，，若∁RT⊆S，求m的取值范围．20．定义max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，x3，…，xn中的最大值．已知数列an=，bn=，cn=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记dn=max{an，bn，cn}（Ⅰ）求max{an，bn}（Ⅱ）当k=2时，求dn的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求dn的最小值．21．已知点P到圆（x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t＞0，t≠1）；（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当时，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ（0＜θ＜π）．第5页（共23页）2016-2017学年上海市华东师大二附中高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题6分，共54分）1．计算：=i（i是虚数单位）【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】i2017=（i4）504•i=i，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504•i=i，原式====i，故答案为：i．2．双曲线的渐近线的夹角为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为：y=±x，直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为，则其渐近线的夹角为，故答案为：．3．在二项式的展开式中，常数项等于160．第6页（共23页）【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：1604．设全集U=R，已知，则A∩B={x|2＜x＜3}．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵，∴A={x|x＜﹣或x＞2}，B={x|﹣1＜x＜3}，A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．5．函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜0且x≠﹣3．∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．第7页（共23页）6．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义和单调性即可求出．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，∴m必满足，解得m=2，即y=x﹣2．故答案为：2．7．已知等比数列{an}满足a2=2，a3=1，则=．【考点】数列的极限．【分析】利用a2=2，a3=1，两式相除可求得q，根据a2=2进而可求得a1再根据数列{anan+1}为以q2为公比，8为首项等比数列，根据等比数列的求和公式可得a1a2+a2a3+…+anan+1，进而答案可得．【解答】解：a2=2，a3=1，解得q=，得a1=4，a1a2，a2a3，…，anan+1，是公比为的等比数列，首项为：8．∴a1a2+a2a3+…+anan+1=．则==．故答案为：．8．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为2．【考点】简单线性规划．第8页（共23页）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（，），此时z的最大值为z=1+2×=1+1=2，故答案为：2．9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是[﹣，0]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，计算•=x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，第9页（共23页）建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），∴•=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，由二次函数的性质可得，当x=y=时，•取得最小值为﹣；当x=0或1，且y=0或1时，•取得最大值为0，则•的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．10．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是{2，3，4，5}．【考点】交集及其运算．【分析】对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集确定出A，根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．【解答】解：分情况考虑：①当k＜0，A={x|++3＜x＜}；第10页（共23页）②当k=0，A={x|x＜}；③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x＜，或x＞++3}；④当1≤k≤9，A={x|x＜++3，或x＞}；∵B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，只有k＜0，B={2，3，4，5}．故答案为：{2，3，4，5}11．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是（1，4]．【考点】余弦定理．【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简为1+，由角C越大，越小，求得的取值范围．【解答】解：三角形ABC中，∵，若△ABC不是钝角三角形，由A+C=，可得＜C≤．利用正弦定理可得====1+，显然，角C越大，越小．当C=时，cosC=0，则=1；当＜C＜时，=1+∈（1，4）．综上可得，∈（1，4]，故答案为：（1，4]．12．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n∈N*），从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+…+Tn，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1第11页（共23页）×3=7，试写出Sn=﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】通过计算出S3，并找出S1、S2、S3的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．【解答】解：当n=3时，A3={1，3，7}，则T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，∴S3=T1+T2+T3=11+31+21=63，由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，…猜想：Sn=﹣1，故答案为：﹣1．二、选择题（每小题5分，共20分）13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜abB．﹣ab＜﹣b2C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b2，故B正确；对于C：由a＜b＜0，两边同除以ab得：＜，即＞，故C错误；对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；故选：B．14．已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）第12页（共23页）上与函数f（x）的单调性相同的是（）A．B．y=log2|x|C．D．y=cos（2x）【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（﹣1，0）上的单调性，即可得答案．【解答】解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又