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2012-2013学年上海市六校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）复数z=1+在复平面上对应的点到原点的距离为．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先利用复数的运算性质进行化简，即可求出所对应的点，再使用两点间的距离公式即可求出．解答：解：∵复数z=1+=1﹣i所对应的点为P（1，﹣1）．∴|OP|==．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算性质和几何意义、两点间的距离公式是解题的关键．2．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则CuA=（﹣3，0）．考点：补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意知集合A是两个集合的并集，利用不等式的解集求出A，再由全集、集合A，然后根据补集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}={x|x≥0或x≤﹣3}∪{x|x＞0}={x|x≥0或x≤﹣3}，∵全集U=R，∴集合CuA={x|﹣3＜x＜0}}，故答案为：（﹣3，0）．点评：此题主要考查集合的交集及补集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．则tan2α的值为﹣．考点：二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：始边在x轴正半轴上的角α的终边经过点P（﹣3，）可知tanα，再利用正切的二倍角公式即可求出tan2α解答：解：依题意可知tanα==﹣∴tan2α===﹣故答案为：﹣．点评：本题主要考查了正切函数的二倍角公式的应用．属基础题．4．（4分）在（x﹣）10的展开式中，x8的系数为135．（结果用数字表示）考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为8求出r的值，将r的值代入通项，求出（x﹣）的展开式中，x8的系数．解答：解：（x﹣）10的展开式为Tr+1=C10rx10﹣r•（）r，令10﹣r=8得r=2，∴（1﹣）10的展开式中，x8的系数等于（）2•C102=135．故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用，解决二项展开式的特定项问题的工具是利用二项展开式的通项公式．5．（4分）已知无穷数列{an}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数﹣，则无穷数列{an}的各项和．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题设知数列{an}是首项为1，公比为﹣的等比数列，由此能求出无穷数列{an}的各项和．解答：解：∵无穷数列{an}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数﹣，∴数列{an}是首项为1，公比为﹣的等比数列，∴Sn=，∴无穷数列{an}的各项和S====．故答案为：．点评：本题考查数列的各项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．6．（4分）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.3，18.7，20．且总体的中位数为10.5，则总体的平均数为10．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义得到a与b的关系式，再由平均数的定义可解决．解答：解：由题意知=10.5，∴a+b=21∴平均数为=10∴总体的平均数为10故答案为：10点评：本题考查数据的平均数、中数、方差，其次要掌握平均数、中数、方差的计算公式，属于基础题．7．（4分）已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为139．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解解答：解：∵an=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，∴f（4）﹣f（3）=a1+a2+a3+…+a7﹣（a1+a2+a3+…+a5）=a6+a7=11+27=139故答案为：139点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题8．（4分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：直接利用向量转化，求出数量积即可．解答：解：因为====1．故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．9．（4分）我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性．从“形”的角度：在区间I上，若函数y=f（x）的图象从左到右看总是上升的，则称y=f（x）在区间I上是增函数．那么从“数”的角度：对任意的x1、x2∈I，若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称y=f（x）在区间I上是增函数．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：直接根据增函数的定义得出结论．解答：解：对任意的x1、x2∈I，若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上是增函数，故答案为对任意的x1、x2∈I，若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．点评：本题主要考查增函数的定义，属于基础题．10．（4分）数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为2．考点：数列的函数特性．专题：新定义．分析：根据峰值的定义，可以令f（n）=an=﹣6n2+22n，利用数列的函数特性，可以判定函数的单调性及其最值问题，即可得出答案．解答：解：若an=﹣6n2+22n，可以令f（n）=﹣6n2+22n，图象开口向下，可得f（n）=﹣6n2+22n=﹣6（n﹣）2+可以存在n=2，使得a2=﹣6×4+22×2=20，对于任意的n∈N都有，an≤20，可得{an}的峰值为20．故答案为：2．点评：此题主要考查数列函数的特性，是一道中档题，考查了利用图象研究函数的单调性．11．（4分）函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵f（x）==，由得，∴，∴，函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．12．（4分）近年来，孩子的身体素质越来越受到人们的关注，教育部也推出了“阳光课间一小时”活动．在全社会关注和推进下，孩子们在阳光课间中强健体魄，逐渐健康成长．然而也有部分家长对该活动的实际效果提出了质疑．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的家长中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持30岁以下80045020030岁以上（含30岁）100150300在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取5个人看成一个总体，从这5个人中任意选取2人，则至少有1人在30岁以下的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得这5个人中，有2个人在30岁以下，3人30岁以上，所有的抽法有=10种，求出恰有1人在30岁以下的概率和恰有2人在30岁以下的概率，相加，即得所求．解答：解：在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取5个人看成一个总体，则这5个人中，有2个人在30岁以下，3人30岁以上．从这5个人中任意选取2人，则所有的抽法有=10种，恰有1人在30岁以下的概率为=恰有2人在30岁以下的概率为=，故至少有1人在30岁以下的概率为=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．13．（4分）数列{an}通项为an=ncos（+）（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2012=503（1+）．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由数列{an}通项为an=ncos（+）（n∈N*），知{an}是以4为周期的周期函数，由此能求出S2012．解答：解：∵数列{an}通项为an=ncos（+）（n∈N*），∴{an}是以4为周期的周期函数，∵a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=…=a2009+a2010+a2011+a2012=cos（+）+2cos（）+3cos（）+4cos（2π+）=+1，∴S2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012=503（1+）故答案为：503（1+）．点评：本题主要考查了由数列的通项求解数列的和，解题的关键是由通项发现四项结合为定值的规律．14．（4分）（2010•西城区一模）设函数f（x）的定义域为D．若存在非零实数l使得对于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数．求实数m的取值范围．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：根据题意可知在[﹣1，+∞）上的任意x（设x=x+m）有y≥﹣1恒成立，推断出m≥﹣1﹣x恒成立，进而根据x的范围可推知﹣1﹣x最大为0，判断出m的范围，进而根据f（x+m）≥f（x），求得（x+m）2≥x2，化简求得m≥﹣2x恒成立，进而根据x的范围确定﹣2x的范围，进而求得m的范围．解答：解：在[﹣1，+∞）上的任意x（设x=x+m）有y≥﹣1恒成立，则x+m≥﹣1恒成立，即m≥﹣1﹣x恒成立．对于x∈[﹣1，+∞），当x=﹣1时﹣1﹣x最大为0，所以有m≥0．又因为f（x+m）≥f（x），即（x+m）2≥x2在x∈[﹣1，+∝）上恒成立，化简得m2+2mx≥0，又因为m≥0，所以m+2x≥0即m≥﹣2x恒成立，当x=﹣1时﹣2x最大为2，所以m≥2综上可知m≥2．点评：本题主要考查了抽象函数极其应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）记函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）如果函数y=f（x）的图象过点（0，1），那么函数y=f﹣1（x）+1的图象过点（）A．（1，1）B．（0，2）C．（0，0）D．（2，0）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意结合原函数与反函数的对称性知y=f﹣1（x）必过点（1，0），从而可得函数y=f﹣1（x）+1的图象过哪一个定点．解答：解：∵y=f（x）的图象过点（0，1），∴其反函数y=f﹣1（x）必过点（1，0），即f﹣1（1）=0，∴y=f﹣1（x）+1的图象过点（1，1）．故选A．点评：本题考查反函数的概念，理解互为反函数的两个函数的定义域与值域之间的关系（互换）是关键，属于基础题．16．（5分）下列等式不成立的是（n＞m≥1，m，n∈Z）（）A．=B．+=C．是奇数D．=考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；概率与统计．分析：由组合数公式，分别对四个答案进行运算、化简，逐一进行证明后，找出错误的结论，即可得答案．解答：解：由于A、B分别为组合数公式的性质，故A、B正确；当n=3，m=2时，=，故C错；又由=，则=•==，故D正确；故答案为C．点评：本题以命题的真假判断与应用，考查了组合数公式的性质，熟练掌握组合数公式的定义是解答的关键．17．（5分）方程组共有（）组解．A．1B．2C．3D．4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：方程组中y=2x表示指数函数，y=|x（x﹣2）|表示绝对值函数，方程组有解即表示两个函数图象有