上海市浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷

—1—浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷2017.4注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1、已知集合201xAxx，集合04Byy，则AB=____[2,4)________.2、若直线l的参数方程为44,23Rxttyt，则直线l在y轴上的截距是_____1______.3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为____8π______.4、抛物线214yx的焦点到准线的距离为______2_______.5、已知关于,xy的二元一次方程组的增广矩阵为215120，则3xy=___5_______.6、若三个数123,,aaa的方差为1，则12332,32,32aaa的方差为9.7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin,0,π62yxx的单调递减区间是_____20,π3__________.9、已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，则1limnnnnSaa=___14______.10、已知定义在R上的函数fx满足：①20fxfx；②20fxfx；③在1,1上的表达式为21,1,01,0,1xxfxxx，则函数fx与函数122,0log,0xxgxxx的图象在区间3,3上的交点的个数为6.11、已知各项均为正数的数列na满足：11210Nnnnnaaaan，且110aa,则首项1a所有可能取值中的最大值为16.—2—12、已知平面上三个不同的单位向量,,abc满足12abbc，若e为平面内的任意单位向量，则23aebece的最大值为_______21__________.二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13、若复数z满足2zizi，则复数z在复平面上所对应的图形是（D）A、椭圆；B、双曲线；C、直线；D、线段.14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1）（2）（3）（4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（C）A、(1)(3)(4)；B、(2)(4)(3)；C、(1)(3)(2)；D、(2)(4)(1).15、已知2sin1cosxx，则cot2x=（C）A、2；B、2或12；C、2或0；D、12或0.16、已知等比数列1234,,,aaaa满足10,1a，21,2a，32,4a，则4a的取值范围是（D）A、3,8；B、2,16；C、4,8；D、22,16.—3—三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系Oxyz的原点，半径为1，且球O分别与,,xyz轴的正半轴交于,,ABC三点.已知球面上一点310,,22D.（1）求,DC两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．解：（1）由题意：311,0,0,0,1,0,0,0,1,0,,22ABCD则310,,22CD，……………………………………………………2分所以1CD，即OCD为等边三角形，所以π3DOC，…………4分则ππ133DC…………………………6分（2）设直线CD与平面ABC所成角为，易得平面ABC的一个法向量1,1,1n，…………………………11分则313322sin613CDnCDn，…………………………13分即直线CD与平面ABC所成角33arcsin6…………………………14分—4—18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1）如图，射线,OAOB为海岸线，2π3AOB，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个POQ的养殖场，问如何选取点,PQ，才能使养殖场POQ的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB（点,AB在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为1S；方案二：围成弓形CDE（点,DE在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且2π3DCE），其面积为2S；试求出1S的最大值和2S（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.解：（1）设,OPxOQy由余弦定理得222211232xyxyxyxyxy，13xy…4分则121133sinπ2323212Sxy，max312S（平方千米）即选取33OPOQ时养殖场POQ的面积最大.…………6分（2）方案一：围成三角形OAB—5—设AOB，由21124OAOBOAOBOAOB，当且仅当12OAOB时取等号.所以，11111sin12248SOAOB（平方千米），当且仅当1π,22OAOB时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C的半径为r，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米，故14433ππr.…………10分于是22112π1sin223Srr…………11分231930.1448π216π2（平方千米）…………13分即12SS，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）—6—已知双曲线22:143xyC，其右顶点为P.（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为(1,1)n，若在双曲线C上恰有三个点123,,PPP到直线l的距离均为d，求d的值.解：（1）由题意，(2,0)P，渐近线方程：32yx，即320xy……………2分则半径23221734rd，……………4分所以圆方程为：221227xy……………6分（2）若在双曲线C上恰有三个点123,,PPP到直线l的距离均为d，则其中一点必定是与直线:2lyx平行的直线与双曲线其中一支的切点……………8分设直线'l与双曲线C相切，并且与直线l平行，则':lyxb，即有223412yxbxy，消去y，得到2281240xbxb……………10分则226416(3)0bb，解得1b，所以':1lyx…………12分又d是l与'l之间的距离，所以123222d或者12222d……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）—7—若数列nA对任意的*Nn，都有+10knnAAk，且0nA，则称数列nA为“k级创新数列”.（1）已知数列na满足2122nnnaaa，且112a，试判断数列21na是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列nb为“k级创新数列”且1k，若110b，求数列nb的前n项积．nT；（3）设,是方程210xx的两个实根（），令k，在（2）的条件下，记数列nc的通项1lognnnbncT，求证：21nnnccc，*Nn.解：（1）由2122nnnaaa，∴212+144+1nnnaaa，即212121nnaa，……………………2分且12120a，………………………3分∴21na是“2级创新数列”………………………4分（2）由正数数列nb是“k级创新数列”，得+10,1knnbbk，且0nb∴+1lglgnnbkb，………………………6分∴lgnb是等比数列，且首项1lg1b，公比qk；∴111lglgnnnbbqk；………………………7分由1212lglglglgnnnnTbbbTbbb………………………9分21111nnkkkkk，∴1110NnkknTn……………………10分（3）由k，11111lg1loglgnnnnnnnbnnnkTkcTbk—8—111111nnnnnnnnkkknn；……………………12分由,是方程210xx的两根，∴2211；……………………14分∴111111nnnnnnnnnncc222111nnnnnc.…………………16分—9—21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R的函数gx，若函数singx是奇函数，则称gx为正弦奇函数.已知fx是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，00f.（1）已知gx是正弦奇函数，证明：“0u为方程sin1gx的解”的充要条件是“0u为方程sin1gx的解”；（2）若ππ,22fafb，求ab的值；（3）证明：fx是奇函数.证明：（1）必要性：0u为方程sin1gx的解，即0sin1gu，故00sinsin1gugu，即0u为方程sin1gx的解.…………………………………………………2分充分性：0u为方程sin1gx的解，即0sin1gu，故0sin1gu，0sin1gu，即0u为方程sin1gx的解.………………………………4分（2）因为0fbffa，由fx单调递增，可知0ba.……………………5分由（1）可知，若函数fx是正弦奇函数，则当a为方程sin1fx的解，必有a为方程sin1fx的解，sin1fa，即π2π2famZm，而0a，故00faf，从而π2fafbab，即0ab；……………………7分同理π2π2fbn,0Znfbf，故π2fbfaba，即0ab；…………………………9分综上，0ab.…………………………10分—10—（3）fx的值域为R且单调递增，故对任意Rc，存在唯一的0,x使得0fxc.…………11分可设πππ,π22nnfanfbn*Nn，下证*0Nnnabn.当1n时，由（2）知110ab,命题成立；………………………………12分假设nk时命题成立