上海市进才中学20182019学年第一学期高二年级数学期末考试卷

2018-2019学年上海市进才中学高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.关于,xy的二元一次方程的增广矩阵为123015，则xy。【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OAOB，则AB对应的坐标是。【答案】）（3,23.已知直线420axy与直线10xay重合,则a。【答案】2-4.在正方体1111ABCDABCD中，E是AB中点，F为BC中点，则直线1AE与1CF的位置关系是。【答案】相交5.圆22240xyxy的圆心到直线3450xy的距离等于。【答案】26.已知复数22izi，则z的虚部为。【答案】1-7..经过动直线20kxyk上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是。【答案】02yx8.复数34i平方根是。【答案】）（i29.过点6,0M且和双曲线2222xy有相同的焦点的椭圆方程为。【答案】13622yx10.已知双曲线22:1916xyC的左、右焦点分别为12,FFP，为双曲线C的右支上一点，且212PFFF，则12PFF的面积等于。【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F的距离和到直线1x的距离相等。若机器人接触不到过点(1,0)P且斜率为k的直线，则k的取值范围是。【答案】）（）（,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为xy42，过点)0,1(P且斜率为k的直线方程为)1(xky代入xy42，可得0)42(2222kxkxk，机器人接触不到过点)0,1(P且斜率为k的直线，04)42422kk（，1k或1k.12.已知圆M:22(1)1xy，圆N:22(1)1xy.直线1l、2l分别过圆心M、N，且1l与圆M相交于,AB两点，2l与圆N相交于,CD两点。若点P是椭圆22194xy上任意一点，则PAPBPCPD的最小值为。【答案】8【解析】222()()()()1PAPBPMMAPMMBPMMAPMMAPMMAPM同理，PDPC=12PN，P在椭圆上，所以32PNPM；PNPMPNPMPNPMPNPMPDPCPBPA21422)(2222822142PNPM二、选择题（每小题3分，共12分）13.已知方程22212xymm表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是()【A】2m或1m【B】2m【C】21m【D】2m或12m【答案】D14.若点A的坐标为3,2，F是抛物线22yx的焦点，点M在抛物线上移动时，使MFMA取得最小值的M的坐标为（）【A】00，【B】1,21【C】2,1【D】2,2【答案】D15.将正方体表面正方形的对角线称为面对角线。若,ab是同一正方体中两条异面的面对角线，则,ab所成的角的所有可以取得的值构成的集合是（）【A】{,}32【B】{}2【C】{}3【D】2{,,}323【答案】A16.下列关于复数z的四个命题中，正确的个数是（）（1）若|1||1|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2zz，则复数z对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re1|zz，则复数z对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z，则||z的取值范围是[1,5]。【A】4【B】1【C】2【D】3【答案】B【解析】（1）复数z对应的动点是在点）（0,1和点）（0,1-之间的线段上运动；（2）复数z对应的动点的轨迹是双曲线的一支；（3）正确；（4）z的取值范围是5,0三、解答题（共52分）17.(8分）设,mnR，关于x的方程20xmxn的两个根分别是和，（1）当1i时，求与,mn的值；（2）当2,4mn时，求||||的值。【答案】（1）i-1；2m；2n（2）4【解析】（1）当1i时，1i，(11)2mmi，(1)(1)2nii，（2）依题意，2240xx，其416120得,13i，所以||||4。或416120，由4||||2，所以||||4。18.(8分)过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于点A、B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点。（1）求直线AB的倾斜角；（2）求线段AB的长。【答案】（1）3（2）316【解析】（1）依题意：(1,0)F，准线l：1x，设1122(,),(,)AxyBxy，设0(1,)Cy，由已知可得1112x，故13x，代入24yx，得1230y，故23331ABAFkk，直线AB的倾斜角为3。（2）由24yx与3(1)yx联立可得，123(3,23),(,)33AB，故16||3AB。或121016||||||(1)(1)233ABAFBFxx。19.(10分)已知M为圆O：221xy上的动点，过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA延长至点P，使得2APBA，记点P的轨迹为曲线C。(1)求曲线C的方程；(2)直线1l：ykxm与圆O相切，直线2l：ykxn与曲线C相切，求22mn的取值范围。【答案】（1）14922yx（2）41,91【解析】(1)设(,)Pxy，00(,)Mxy，则0(,0)Ax，0(0,)By，且22001xy，因为2APBA，即000(,)2(,)xxyxy，∴0032xxyy，代入22001xy，得22194xy，故曲线C的方程为22194xy。(2)∵1l与圆O相切，∴圆心O到1l的距离12||11mdk，得221mk，①联立22194ykxnxy，消去y整理得222(49)189360kxknxn，由0，得2294nk，②由①②得222221151949994mknkk，22119440944kk，故2211(,]94mn。20.(12分)已知椭圆C：22221(0)xyabab，若四点12(1,1),(0,1),PP32(1,),2P42(1,)2P中恰有三点在椭圆C上。（1）指出四点1234,,,PPPP中，可能不在椭圆C上的点，并说明理由；同时求出椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为(2,0)。设O为坐标原点，证明：OMAOMB。【答案】（1）1222yx（2）见解析【解析】（1）根据椭圆图形的对称性可知，椭圆C必过点34,PP。又1P与4P点的横坐标均为1，且1P与4P不关于x轴对称，故椭圆必不过1P。由此可知，椭圆C必过234,,PPP三点，将这三点的坐标代入椭圆C的方程，得222111214bab，解得2221ab，所以椭圆C的方程为2212xy。（2）分以下三种情况：（i）当l与x轴垂直时，,AB两点关于x轴对称，显然OMAOMB。（ii）当l与x轴重合时，显然0OMAOMB。（iii）当l与x轴不垂直也不重合时，过(1,0)F，设其方程为(1)ykx，且0k，设1122(,),(,)AxyBxy，联系22(1)22ykxxy，整理得2222(12)4220kxkxk，故22121222422,1212kkxxxxkk，则12121212(1)(1)2222MAMByykxkxkkxxxx121212[23()4](2)(2)kxxxxxx0，结合图形可知，直线MA与MB的倾斜角互补，故OMAOMB。综上所述，OMAOMB成立。21.(14分)双曲线：22221(0,0)xyabab（1）已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为3yx．求双曲线的标准方程；（2）若双曲线与直线10xy交于P、Q两点，且0OPOQ(O为原点)，求证：行列式22231132ba的值为常数；（3）可以证明：函数1yx的图像是由双曲线222xy的图像逆时针旋转45得到的。用类似的方法可以得出：函数3323yxx的图像也是双曲线。按教材对双曲线的性质的研究，请列出双曲线3323yxx的性质（不必证明）。【答案】（1）112222yx（2）（3）见解析【解析】（1）依题意，242aa，又双曲线的渐近线方程为3yx，所以323bba，双曲线的标准方程是221412xy。（2）由222211xyabyx，得2222222()2()0baxaxaab，显然220ba，设1122(,),(,)PxyQxy，则2222121222222,aaabxxxxbaba因为121212121212(1)(1)2()10OPOQxxyyxxxxxxxx，所以2222222222210aabaabab，即22222abba，所以22231132ba22112ab为常数。（3）双曲线3323yxx的性质如下：①对称中心：原点；对称轴方程：33,3yxyx；②顶点坐标：33,22，33,22；焦点坐标：1,3，1,3；实轴长：223a、虚轴长：22b、焦距：24c；③范围：0,,22,xy；④渐近线：30,3xyx。